Логическое сложение (дизъюнкция). Операция дизъюнкция

Следующая логическая операция , которую мы рассмотрим после — дизъюнкция . Часто можно встретить другие названия этой операции — логическое сложение , логическое ИЛИ или просто ИЛИ .

В естественном языке дизъюнкция заменяется союзом ИЛИ .

Дизъюнкция , как и конъюнкция — бинарная операция , т. е. для нее необходимо два операнда .

Для обозначения дизъюнкции применяют различные символы. Это может быть знаки || , OR , + , . Но чаще всего для обозначения дизъюнкции используют символ

Рассмотрим пример. Пусть есть два высказывания: A = «Париж — столица Франции » и B = «Сегодня пасмурно «. Тогда дизъюнкция этих высказываний будет выглядеть так «Париж — столица Франции ИЛИ сегодня пасмурно «, а обозначаться так:

Дизъюнкция

Так как на клавиатуре нет символа дизъюнкция, его можно набрать из бэкслэша (\ ) и слэша (/) — получится \/ — похоже на обозначение дизъюнкции .

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит так:

Запомнить таблицу довольно просто — дизъюнкция ложна только в одном случае — когда оба исходных высказывания ложны . Так же можно запомнить таблицу истинности для дизъюнкции , если представить ее электрический аналог — два параллельно включенных выключателя :

По схеме сразу понятно, что лампочка будет гореть когда замкнуты оба выключателя, либо хотя бы один из них — аналогично дизъюнкции.

Алгебра логики и логические основы компьютера

Алгебра логики (булева алгебра) - это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Буля . Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Что же собой представляет алгебра логики? Во-первых, она изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. Во-вторых, булева алгебра делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

Что такое простое логическое высказывание? Это фразы типа «два больше одного», «5.8 является целым числом». В первом случае мы имеем истину, а во втором ложь. Алгебра логики не касается сути этих высказываний. Если кто-то решит, что высказывание «Земля квадратная» истинно, то алгебра логики это примет как факт. Дело в том, что булева алгебра занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений простых высказываний.

Логические операции. Дизъюнкция, конъюнкция и отрицание

Так как же связываются между собой простые логические высказывания, образуя сложные? В естественном языке мы используем различные союзы и другие части речи. Например, «и», «или», «либо», «не», «если», «то», «тогда». Пример сложных высказываний: «у него есть знания и навыки», «она приедет во вторник, либо в среду», «я буду играть тогда, когда сделаю уроки», «5 не равно 6».

Как мы решаем, что нам сказали правду или нет? Как-то логически, даже где-то неосознанно, исходя из предыдущего жизненного опыта, мы понимает, что правда при союзе «и» наступает в случае правдивости обоих простых высказываний. Стоит одному стать ложью и все сложное высказывание будет лживо. А вот, при связке «либо» должно быть правдой только одно простое высказывание, и тогда все выражение станет истинным.

Булева алгебра переложила этот жизненный опыт на аппарат математики, формализовала его, ввела жесткие правила получения однозначного результата. Союзы стали называться здесь логическими операторами.

Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, т.к. с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем. Такими операциями являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Часто конъюнкцию обозначают &, дизъюнкцию - ||, а отрицание - чертой над переменной, обозначающей высказывание.

При конъюнкции@/a> истина с ложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.

При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

Отрицание - это унарная операция, т.к выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному.

Для логических величин обычно используются три операции:

Конъюнкция - логическое умножение (И) - and, &, ∧.

Дизъюнкция - логическое сложение (ИЛИ) - or, |, v.

Логическое отрицание (НЕ) - not,.

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности, в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

Логические основы компьютера

В ЭВМ используются различные устройства, работу которых прекрасно описывает алгебра логики. К таким устройствам относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь между булевой алгеброй и компьютерами лежит и в используемой в ЭВМ системе счисления. Как известно она двоичная. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать как числа, так и значения логических переменных.

Переключательные схемы

В ЭВМ применяются электрические схемы, состоящие из множества переключателей. Переключатель может находиться только в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае - ток проходит, во втором - нет. Описывать работу таких схем очень удобно с помощью алгебры логики. В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах.

Вентили, триггеры и сумматоры

Вентиль представляет собой логический элемент, который принимает одни двоичные значения и выдает другие в зависимости от своей реализации. Так, например, есть вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание.

Триггеры и сумматоры - это относительно сложные устройства, состоящие из более простых элементов - вентилей.

Триггер способен хранить один двоичный разряд, за счет того, что может находиться в двух устойчивых состояниях. В основном триггеры используется в регистрах процессора.

Сумматоры широко используются в арифметико-логических устройствах (АЛУ) процессора и выполняют суммирование двоичных разрядов.

Информация и информационные процессы. Виды информации, её двоичное кодирование. Количество информации, подходы к определению понятия «количество информации», единицы измерения информации. Двоичное кодирование числовой, текстовой, графической, звуковой информации

Информация (от лат. informatio — «разъяснение, изложение, осведомлённость») — сведения о чём-либо, независимо от формы их представления.

В настоящее время не существует единого определения информации как научного термина. С точки зрения различных областей знания данное понятие описывается своим специфическим набором признаков. Понятие «информация» является базовым в курсе информатики, где невозможно дать его определение через другие, более «простые» понятия.

Свойства информации:

Объективность (информация объективна, если она не зависит от чьего-либо мнения, суждения);

Достоверность (информация достоверна, если она отражает истинное положение дел);

Полнота (информация полна, если ее достаточно для понимания и принятия решения);

Актуальность (информация актуальна, своевременна, если она важна, существенна для настоящего времени);

Полезность (оценивается по тем задачам, которые мы можем решить с ее помощью);

Понятность (информация понятна, если она выражена на языке, доступном для получателя);

Доступность (информация доступна, если мы можем её получить).

Информационный процесс - совокупность последовательных действий (операций), производимых над информацией (в виде данных, сведений, фактов, идей, гипотез , теорий и пр.), для получения какого-либо результата (достижения цели).

Информация проявляется именно в информационных процессах. Информационные процессы всегда протекают в каких-либо системах (социальных, социотехнических, биологических и пр.).

Наиболее обобщенными информационными процессами являются сбор, преобразование, использование информации.

К основным информационным процессам, изучаемым в курсе информатики, относятся: поиск, отбор, хранение, передача, кодирование, обработка, защита информации.

Информационные процессы, осуществляемые по определенным информационным технологиям, составляет основу информационной деятельности человека.

Компьютер является универсальным устройством для автоматизированного выполнения информационных процессов.

Люди имеют дело со многими видами информации. Общение людей друг с другом дома и в школе, на работе и на улице - это передача информации. Учительский рассказ или рассказ товарища, телевизионная передача, телеграмма, письмо, устное сообщение и т.д. - все это примеры передачи информации.

И мы уже говорили о том , что одну и ту же информацию можно передать и получить различными путями. Так, чтобы найти дорогу в музей в незнакомом городе, можно спросить прохожего, получить справку в справочном бюро, попытаться разобраться самому с помощью плана города или обратиться к путеводителю. Когда мы слушаем объяснение учителя, читаем книги или газеты, смотрим новости ТВ, посещаем музеи и выставки - в это время мы получаем информацию.

Человек хранит полученную информацию в голове. Мозг человека - огромное хранилище информации. Блокнот или записная книжка, ваш дневник, школьные тетрадки, библиотека, музей, кассета с записями любимых мелодий, видеокассеты - все это примеры хранения информации.

Информацию можно обрабатывать : перевод текста с английского языка на русский и наоборот, вычисление суммы по заданным слагаемым, решение задачи, раскрашивание картинок или контурных карт - все это примеры обработки информации. Все вы любили в свое время раскрашивать книжки-раскраски. Оказывается, в это время вы занимались важным процессом - обработкой информации, черно-белый рисунок превращали в цветной.

Информацию можно даже терять. Допустим, Иванов Дима забыл дневник дома и поэтому записал домашнее задание на листочке. Но, играя на перемене, он сделал из него самолетик и запустил его. Придя домой, Дима не смог сделать домашнюю работу, он потерял информацию. Теперь ему нужно или попытаться вспомнить, что же ему задали, или позвонить однокласснику, чтобы получить нужную информацию, или идти в школу с невыполненным домашним заданием.

Двоичное кодирование - один из распространенных способов представления информации. В вычислительных машинах, в роботах и станках с числовым программным управлением, как правило, вся информация, с которой имеет дело устройство, кодируется в виде слов двоичного алфавита.

Двоичный алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Цифровые ЭВМ (персональные компьютеры относятся к классу цифровых) используют двоичное кодирование любой информации. В основном это объясняется тем, что построить техническое устройство, безошибочно различающее 2 разных состояния сигнала, технически оказалось проще, чем то, которое бы безошибочно различало 5 или 10 различных состояний.

К недостаткам двоичного кодирования относят очень длинные записи двоичных кодов, что затрудняет работу с ними.

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смыс­ле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюн­кцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смот­реть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с про­смотром телепередач.)

В высказывании Данный глагол I или II спряжения союз «или» ис­
пользуется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция
называется строгой дизъюнкцией. . ,. ,-> „ ,... > (, г>

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; A OR В; А | В; А V В; А + В. (В данном пособии: А V В.)

Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.

Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.

Обозначим высказывания:

А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».

(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».

Глава 3. Логичздуие операции ____________ [___________________________ Щ

Таблица., ^»-«н..;ч; i ■.■;- >i ,;,

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство прини­мают за определение операции дизъюнкции.

Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложе­ние, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, верные для обычного сложения, верны и для опера­ции дизъюнкции, но 1 V 1 = 1.

В слове «конъюнкция» одна буква «и», а в слове «дизъюнкция» две буквы «и», как и в слове «или».

V Л-Символ V (дизъюнкция) образован из первой буквы латинского слова Vel («или»).

«Диз» - «галочка вниз» - V.

В теории множеств дизъюнкции соответствует операция объедине­ния множеств.

Для построения соответствующей объединению множеств диаграммы Эйлера-Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых AvB=\. Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В та­кие же, как в выбранных строках. ^ _ ч."" " * "о L su J I J

30 ___________________________ Часть 1. Элеиснтвьматематичсекой" логики

Графическая иллюстрация: ».*■.

А В A\jB - множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.

j Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции (исключающее «или»). i Приведем пример строгой дизъюнкции.

,}■ Пусть даны высказывания:

"■ А = На автостоянке стоит «Мерседес».

>; В = На автостоянке стоят «Жигули».

i {А строгая дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мврседве»*или

«Жигули». v ?;;

Использование операции «исключающее «или» подразумевает, что на автостоянке может быть либо только «Мерседес», либо только «Жигули», и запрещает ситуацию, когда «Мерседес» и «Жигули» находятся на автосто­янке одновременно.

; . - "4",

Обозначение строгой дизъюнкции: A XOR В; A v В.

глава 3. Логические операции ______________________________________ 31

Из таблицы истинности следует, что операция строгой дизъюнкции истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истин­но, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимают за определение операции строгой дизъюнкции.

Диаграмма Эйлера - Венна, изображающая строгую дизъюнкцию, строится по таблице истинности таким же способом, как и для остальных логических операций.

Графическая иллюстрация:

А - множество отличников в классе; В - множество спортсменов в классе;

А у В - множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.

d "W.C . J

Логическое следование (импликация) -wr™

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух!,

высказываний в одно с помощью оборота речи «если ..., то ... ». ■

Примеры импликаций: "

Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. {

Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. I

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бес-.;:

смысленные с житейской точки зрения высказывания. i

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассмат-j; ривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:

С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5. Х=Еслия - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Обозначение импликации: А -> В; А =э В. (В данном пособии: А =» В.) Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А.

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операций f; Л._________________________ 33

Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания: .>--.< а «<, .<-. *>, w "„ihw

Л А = На улице дождь. >..;; j .„ , | Г,., д

В = Асфальт мокрый. ц

(А импликация 2?) = £Ъш на улице дождь, то асфальт мокрый.

Тогда если идет дождь {А = 1) и асфальт мокрый (5=1), то это соот­
ветствует действительности, т. е. истинно. Но если вам скажут, что на
улице идет дождь {А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчи­
таете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт
может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поли­
вальная машина). ъ. ?; t | rfl ]

Таблица

Форма высказывания: если А, то В,

Г SOW ! ,чи , Т " /1

"? , Л ■ и " . "Л \ и ч > < "Л

Лт С.Ч;":\0«1 "

Поясним построение диаграммы. Нас интересует истинность имплика­ции, поэтому выберем те строки таблицы истинности, в которых А => В = 1. Таких строк три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках:

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.

Разберем один из приведенных выше примеров следований, проти­воречащих здравому смыслу.

(Л = 1)п(Я=1)

Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединени­ем двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда ...».

Часть 1. Элементы математической логики^

Глава 3. Логические операции

Примеры эквивалентностей: "

1) Угол называется прямым тогда и ттько тогда, когда он равен 90°.

2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пере­секаются. .,

3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или рав­номерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)

4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)

Все законы математики, физики, все определения суть эквивалент­ность высказываний.

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В. (В данном пособии: А о В.)

Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:

А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только mogda, когда
сумма его цифр делится нацело на 3. , ;

Таблица истинности:

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказы­ваний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.

В теории множеств этой операции соответствует операция эквива­лентности множеств.

Для построения соответствующей эквивалентности множеств диаг­раммы Эйлера - Венна выберем те строки таблицы истинности, в кото­рых А <=> В = 1. Их две. На диаграмме заштрихуем две области, в которых значения АнВ такие же, как в выбранных строках.

Графическая иллюстрация: c~J_........ 1л ...Li

Ш ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Логическая операция - способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с по­мощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования обо­рота речи «неверно, что...».

Обозначение инверсии: НЕ А; -. A; A; NOT A. >"i, t

Таблица
истинности: ■■■ г -

Инверсия высказывания истинна, когда выс­
казывание ложно, и ложна, когда высказывание
истинно. ■--■

! t ■ .■ " Н ■

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Обозначение конъюнкции: А Я В; А Л В; А & В; А ■ В; A AND В.

; (Г">* „*

Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В.

Таблица истинности:

Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания ис­тинны или оба ложны.

Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». ,

Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А \ В; Л V В; А + В.

Таблица истинности:

Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Обозначение импликации: А-> В;А=$ В.

Опорный конспект «Свойства логических операций»

Таблица истинности:

Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Ч1я" | ; - VI

. ..,.. . , .-. . if . .................. --,-

■*}■

<Ч. 1

Похожая информация.

Именно она используется для вычисления логических операций. Рассмотрим ниже все самые элементарные логические операции в информатике. Ведь если задуматься, именно они используются при создании логики вычислительных машин и приборов.

Отрицание

Перед тем как начать подробно рассматривать конкретные примеры, перечислим основные логические операции в информатике:

• отрицание;
• сложение;
• умножение;
• следование;
• равенство.

Также перед началом изучения логических операций стоит сказать, что в информатике ложь обозначается "0", а правда "1".

Для каждого действия, как и в обычной математике, используются следующие знаки логических операций в информатике: ¬, v, &, ->.

Каждое действие возможно описать либо цифрами 1/0, либо просто логическими выражениями. Начнём рассмотрение математической логики с простейшей операции, использующей всего одну переменную.

Логическое отрицание - операция инверсии. Суть заключается в том, что если исходное выражение - истина, то результат инверсии - ложь. И наоборот, если исходное выражение - ложь, то результатом инверсии станет - правда.

При записи этого выражения используется следующее обозначение "¬A".

Приведём таблицу истинности - схему, которая показывает все возможные результаты операции при любых исходных данных.

То есть, если у нас исходное выражение - истина (1), то его отрицание будет ложным (0). А если исходное выражение - ложь (0), то его отрицание - истина (1).

Сложение

Оставшиеся операции требуют наличия двух переменных. Обозначим одно выражение -

А, второе - В. Логические операции в информатике, обозначающие действие сложения (или дизъюнкция), при написании обозначаются либо словом "или", либо значком "v". Распишем возможные варианты данных и результаты вычислений.

1. Е=1, Н=1 ,тогда Е v Н = 1. Если оба тогда и их дизъюнкция также истинна.
2. Е=0, Н=1 ,в итоге Е v Н = 1. Е=1, Н=0 , тогда Е v Н= 1. Если хотябы одно из выражений истинно, тогда и результат их сложения будет истиной.
3. Е=0, Н=0 ,результат Е v Н = 0. Если оба выражения ложны, то их сумма также - ложь.

Для краткости создадим таблицу истинности.

Умножение

Разобравшись с операцией сложения, переходим к умножению (конъюнкции). Воспользуемся теми же обозначениями, которые были приведены выше для сложения. При письме логическое умножение обозначается значком "&", либо буквой "И".

1. Е=1, Н=1 ,тогда Е & Н = 1. Если оба тогда их конъюнкция - истина.
2. Если хотя бы одно из выражений - ложь, тогда результатом логического умножения также будет ложь.

• Е=1, Н=0, поэтому Е & Н = 0.
• Е=0, Н=1, тогда Е & Н = 0.
• Е=0, Н=0, итог Е & Н = 0.

Следствие

Логическая операция следования (импликация) - одна из простейших в математической логике. Она основана на единственной аксиоме - из правды не может следовать ложь.

1. Е=1, Н=, поэтому Е -> Н = 1. Если пара влюблена, то они могут целоваться - правда.
2. Е=0, Н=1, тогда Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они могут целоваться - также может быть истиной.
3. Е=0, Н=0, из этого Е -> Н = 1. Если пара не влюблена, то они и не целуются - тоже правда.
4. Е=1, Н=0, результатом будет Е -> Н = 0. Если пара влюблена, то они не целуются - ложь.

Для облегчения выполнения математических действий также приведём таблицу истинности.

Равенство

Последней рассмотренной операцией станет логическое тождественное равенство или эквивалентность. В тексте оно может обозначаться как "...тогда и только тогда, когда...". Исходя из этой формулировки, напишем примеры для всех исходных вариантов.

1. А=1, В=1, тогда А≡В = 1. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (истина)
2. А=0, В=0, в итоге А≡В = 1. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (истина)
3. А=1, В=0, поэтому А≡В = 0. Человек пьёт таблетки тогда и только тогда, когда не болеет. (ложь)
4. А=0, В=1 ,тогда А≡В = 0. Человек не пьёт таблетки тогда и только тогда, когда болеет. (ложь)

Свойства

Итак, рассмотрев простейшие в информатике, можем приступить к изучению некоторых их свойств. Как и в математике, у логических операций существует свой порядок обработки. В больших логических выражениях операции в скобках выполняются в первую очередь. После них первым делом подсчитываем все значения отрицания в примере. Следующим шагом станет вычисление конъюнкции, а затем дизъюнкции. Только после этого выполняем операцию следствия и, наконец, эквивалентности. Рассмотрим небольшой пример для наглядности.

А v В & ¬В -> В ≡ А

Порядок выполнения действий следующий.

1. В&(¬В)
2. А v(В&(¬В))
3. (А v(В&(¬В)))->В
4. ((А v(В&(¬В)))->В)≡А

Для того чтобы решить этот пример, нам потребуется построить расширенную таблицу истинности. При её создании помните, что столбцы лучше располагать в том же порядке, в каком и будут выполняться действия.

Как мы видим, результатом решения примера станет последний столбец. Таблица истинности помогла решить задачу с любыми возможными исходными данными.

Заключение

В этой статье были рассмотрены некоторые понятия математической логики, такие как информатика, свойства логических операций, а также - что такое логические операции сами по себе. Были приведены некоторые простейшие примеры для решения задач по математической логике и таблицы истинности, необходимые для упрощения этого процесса.

Операция дизъюнкция (лат. disjunctio - разделение) (логическое сложение ) - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Условное обозначение на структурных схемах логического элемента ИЛИ с двумя входами представлено на Рис. 2.8. Знак 1 на схеме - от устаревшего обозначения дизъюнкции как >=1 (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом F этой схемы и входами A и B описывается соотношением: F = A v B (читается как A или B).

Рис. 2.8. Логический элемент электронной схемы ИЛИ

Рассмотрим таблицу истинности для операции дизъюнкции ИЛИ с двумя входами A и B.

Таблица 2.3

Операция дизъюнкции (логическое сложение)

Для обозначения дизъюнкции используют знаки Ú, + , или .

Операции дизъюнкции в электрических контактных схемах соответствует параллельное соединение контактов. Например, электрическая контактная схема на рисунке 2.9 соответствует дизъюнкции .

Рис. 2.9 Параллельное соединение контактов

Набор выше рассмотренных логических функций НЕ, И, ИЛИ (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция) наиболее известный и называется функционально полным набором или базисом . С помощью этих логических функций можно выразить любые другие логические функции.