Согласно учению этой работы за всеми вещами имеются два первичных Закона, называемые соответственно Законом Трех и Законом Семи. Эти два закона являются основными.

С точки зрения настоящего учения Вселенная является созданной: мы живем, во-первых, в созданной и, во-вторых, упорядоченной Вселенной. Если бы Вселенная была хаосом, не было бы ни порядка, ни законов. Космос буквально означает порядок, как отличный от хаоса. Если бы мир был хаосом, изучение законов материи и т.д. было бы невозможным. Наука не могла бы существовать.

Закон Трех есть Закон Трех Сил Творчества

Этот закон утверждает, что три силы должны входить в каждое проявление. Каждое проявление во Вселенной есть результат комбинации трех сил. Три силы называются Активной Силой, Пассивной Силой и Нейтрализующей Силой.

Активная Сила называется 1-й Силой.

Пассивная Сила называется 2-й Силой.

Нейтрализующая Сила называется 3-й Силой.

1-я Сила - может быть определена как инициативная сила,

2-я Сила - как сила сопротивления или реакции,

3-я Сила - как уравновешивающий или соотносительный принцип, или связующая сила, или точка приложения.

Эти три силы находятся как в Природе, так и в Человеке. По всей Вселенной, на каждом плане эти три силы находятся в работе. Они - творческие силы. Ничто не создается без соединения этих трех сил.

Соединение этих трех сил составляет триаду. Одна триада создает другую триаду, как на вертикальной шкале, так и на горизонтальной шкале времени. Во Времени то, что мы называем цепью событий, является цепью триад.

Всякое проявление, всякое творчество происходит от совместной встречи этих сил, Активной, Пассивной и Нейтрализующей. Активная Сила, или 1-я Сила, не может создать что-либо сама по себе. Пассивная Сила, или 2-я Сила, не может создать что-либо сама по себе. Нейтрализующая Сила, или 3-я Сила, не может создать что-либо сама по себе. Не могут также любые две из трех сил произвести что-либо. Необходимо, чтобы все три силы встретились вместе, чтобы какое-либо проявление или творчество имело место. Это может быть представлено следующим образом.

Три силы являются творческими только в точке их соединения, и здесь имеет место проявление, творчество, событие, но не иначе. Из всего бесконечного числа вещей, которые могли бы случиться, только некоторые действительно имеют место, именно, те в которых эти три силы встречаются в соединении. Если все они не встречаются, тогда ничто не может иметь место.

Например, если Активная Сила и Пассивная Сила встречаются, ничто произойти не может, никакое событие не может иметь место. Но если появляется Нейтрализующая Сила, тогда в работе будут три силы и нечто будет иметь место. Триада будет присутствовать. И где бы три силы ни встречались как триада, результатом должно быть проявление. Каждая триада, каждое соединение трех сил, может дать возникновение другой триады, и при правильных условиях результатом будет цепь триад. Новая триада всегда происходит из Нейтрализующей Силы, т.е. 3-й Силы.

В последующей триаде Нейтрализующая Сила предшествующей триады становится Активной или Пассивной Силой. Она соединяет их до некоторой степени таким же образом, как точка опоры приводит две стороны весов в соответствие. Без нейтрализующей Силы Активная и Пассивная Силы погасили бы друг друга, т.к. они противоположны одна другой. Они являются противоположностями. Соединяющая или связывающая Сила является промежуточной между Активной и Пассивной Силами. Когда правильная нейтрализующая сила присутствует активная и пассивная сила больше не противостоят друг другу бесполезно, но приходят в рабочее соотношение, которое создает проявление.

Грубым примером является ветряная мельница. Активная и порождающая Сила - это ветер. Пассивная и сопротивляющаяся Сила - строение. Вращающиеся крылья дают связь между давлением ветра и сопротивлением строения, и проявление имеет место. Если нет крыльев или если строение разрушается, или если нет ветра, нет и проявления. Это только очень грубая иллюстрация.

Часть 2. Активная, пассивная и нейтрализующая силы

Изменение в качестве Нейтрализующей Силы будет не только менять связь сил в триаде, но может перевернуть Активную и Пассивную Силы. Когда жизнь является Нейтрализующей Силой, личность активна в человеке, а сущность пассивна.

Когда работа является Нейтрализующей Силой, положение обратное - именно сущность, или истинная часть, становится активной, а личность, или приобретенная часть, - пассивной.

В этом случае мы снова должны рассмотреть значение вертикальной и горизонтальной линий Креста. Мы можем представить себе Нейтрализующую Силу работы, входящей в каждый момент с вертикального направления и ощущаемой, только когда человек перестает отождествляться с вещами Времени и вспоминает себя.

Изучение Трех Сил начинается с изучения их в самом себе. Как было сказано, Три Силы существуют в Природе и в Человеке. Очень трудно видеть Три Силы. Они должны быть изучаемы сперва психологически, т.е., как они существуют в самом себе, путем самонаблюдения. Активная сила, или 1-я Сила, может быть взята как то, чего кто-либо хочет. Это зависит прежде всего от того, насколько кто-либо должен продвинуться. Невозможно видеть 3-ю Силу, пока кто-либо не видит 1-й Силы и 2-й Силы.

2-я Сила, или Сила сопротивления, существует во всем. Всему тому, что мы хотим, неизбежно имеется сила сопротивления. Если люди поймут это, они не будут порицать и чувствовать, что их затруднения являются единственными в своем роде. При формировании цели 2-я Сила должна быть рассчитана, иначе цель останется нереализованной.

Если вы ставите цель, вы должны подсчитать стоимость ее сохранения. Когда вы сделаете так, вы, вероятно, сделаете вашу цель более реальной и практичной. Цель не должна быть слишком трудной. Все, что мешает сохранить вашу цель, это 2-я Сила, Сила сопротивления. Допустим, что вы поставили искусственную временную цель, что вы не будете садиться весь день. Тогда вы заметите 2-ю силу в себе в связи с этой целью - именно, что препятствует вам, что противится выполнению вами этой цели, все различные «я», различные доводы и т.д. Природа 2-й Силы будет, конечно, определена природой 1-й Силы, в данном случае целью, которую вы хотите сохранить.

Не пытайтесь стараться увидеть 3-ю Силу. Это сперва совершенно бесполезно. Но попытайтесь увидеть 1-ю Силу и затем 2-ю Силу. Вы не можете увидеть 2-ю Силу, если вы не увидите 1-ю Силу. Именно 1-я Сила заставляет появляться 2-ю Силу. Если вы ничего не хотите, то нет 2-й Силы, поскольку это касается нашего желания. Люди часто даже не знают, что 1-я Сила находится в них самих, т.е., они не знают, чего они в действительности хотят. Спрашивайте себя по временам: «Чего я хочу?» Вы должны быть искренними, отвечая, чего вы действительно хотите.

Три Силы, происходящие из Абсолюта в первом акте творчества, обусловлены единой Волей Абсолюта и их взаимной связью друг с другом как Активная, Пассивная и Нейтрализующая. Эти силы на их первичном уровне все сознательны, хотя уже ограничены.

Часть 3. Что есть Сила

Мы имеем большие благоприятные возможности наблюдения себя, чем наблюдения внешнего мира. Мы живем очень мало во внешнем мире, который чужд нам. Мы прерывисто сознаем, но замечаем очень мало относительно него, Мы можем проходить мимо одного и того же дома тысячу раз и не быть способными описать его. Действительно, мы значительно более постоянны как раз для самих себя, чем мир. Это одна причина, почему изучение Трех Сил начинается с самонаблюдения. Вы должны также помнить, что сила невидима, и наш более прямой контакт с тем, что невидимо, происходит посредством самонаблюдения.

Вы должны понять, что в попытке изучить этот вопрос о силах вы не изучаете вещи. Например, желание есть сила, не вещь. Цепь мыслей есть сила, а не вещь. Идея есть сила - не вещь.

Одной из причин, почему мы имеем так много затруднений в понимании трех сил, является то, что мы стараемся видеть во всем одну силу. Мы думаем о силе как об одной, и во всем, что происходит в любом проявлении, в любом событии, мы стремимся видеть только одну силу. Мы приписываем его одной силе. Мы видим одно действие в одном событии. Это частично происходит вследствие нашей неспособности как правило думать более, чем об одной вещи одновременно,. Иногда мы думаем в терминах двух вещей, но думать в терминах трех вещей - вне нас, т.е., вне формирующего мышления. Событие, например, всегда должно быть хорошим или плохим, правильным или неправильным для нас. Мы видим только одно действие в нем, и, кроме того, мы даже не думаем о событиях как о происходящих вследствие сил. Мы видим яблоко, падающее с дерева, и видим только яблоко, лежащее сейчас на земле. Мы видим магнит, притягивающий или отталкивающий один полюс компаса.

Мы видим все это, но вряд ли думаем о силах - в этом случае, очевидно, о различного рода силах. Мы не замечаем также, как силы изменяются для нас. В один момент мы притягиваемся вещью, а в следующий момент мы отталкиваемся той же вещью. Или мы отталкиваемся, а затем нам приходит идея, и мы чувствуем притяжение.

Мы не осознаем, что вещь в одно время проводит одну силу, а в другое время - противоположную силу. Таким же образом меняется наше отношение к человеку. То есть, человек испытывает изменение знака для нас, а это значит, что в триаде сил, которые создает связь, произошло изменение сил - например, механическая любовь может превратиться в ненависть, механическое доверие - в подозрение и т.д. Также все обычные проявления в человеческой жизни происходят вследствие сил и изменений в этих силах. Я не прошу вас определять в таких случаях силы, но отмечать их.

Три Силы не могут быть изучены теоретически. Единственный практический путь изучения трех сил в нас самих - это что-то делать. Под этим подразумевается подражание или воплощение в нас самих из трех сил, в отношении некоторой другой силы, либо 1) действующей в нас, 2) во внешних событиях. ПРИМЕРЫ.

Условимся называть тело свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, связями. Как уже упоминалось, в точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей.

Силы, не зависящие от связей, называются активными силами (заданными), а реакции связей - пассивными силами.

В механике принимают следующее положение, называемое иногда принципом освобождаемости: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действия связей заменить их реакциями, приложенными к данному телу.

В статике полностью определить реакции связей можно с помощью условий или уравнений равновесия тела, которые будут установлены в дальнейшем, но направления их во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств связей:

Основные типы связей:

1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без терния) поверхность, то точка контакта тела с поверхностью может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться в направлении вдоль нормали к поверхности. Реакция идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям.

Если тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие, то реакция направлена по нормали к поверхности самого тела.

2. Сферический шарнир.

3. Цилиндрическим шарниром называется неподвижная опора. Реакция такой опоры проходит через ее ось, причем направление реакции может быть любым (в плоскости параллельно оси опоры).

4. Цилиндрическая шарнирно – подвижная опора.

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ.

1.Задача о приведении системы сил: как данную систему заменить другой, в частности наиболее простой, ей эквивалентной?

2.Задача о равновесии: каким условиям должна удовлетворять система сил, приложенная к данному телу, чтобы она была уравновешенной системой?

Первая основная задача имеет важное значение не только в статике, но и в динамике. Вторая задача часто ставится в тех случаях, когда равновесие заведомо имеет место. При этом условия равновесия устанавливают зависимость между всеми силами, приложенными к телу. Во многих случаях с помощью этих условий удается определить опорные реакции. Хотя этим не ограничивается сфера интересов статики твердого тела, но нужно иметь в виду, что определение реакций связей (внешних и внутренних) необходимо для последующего расчета прочности конструкций.

Принцип освобождаемости.
Связи и реакции связей

Как уже упоминалось в предыдущих статьях, статика изучает условия, при которых тела и материальные точки находятся в состоянии равновесия. Казалось бы, благодаря аксиомам статики, описывающим основные свойства силового взаимодействия между телами, решение задач равновесия тел не должно представлять трудностей - неизвестные силы можно найти, зная, что они должны уравновешиваться известными силами, отсюда и ключ к решению.
Тем не менее, основная сложность при расчетах заключается в том, что силы - векторные величины, и для решения задач необходимо знать не только их скалярные размерности (модули) , но и направление в пространстве, а также точки приложения. В результате получается, что каждая неизвестная сила содержит три вопроса: куда она направлена, где приложена, и какова ее размерность?

Исключить некоторые неизвестные составляющие сил помогает анализ связей между телами. Как мы уже знаем, все тела и материальные точки подразделяются на свободные и связанные (несвободные) . В статике чаще всего приходится решать задачи, в которых рассматривается условие равновесия связанных тел, т. е. имеющих некоторые (или полные) ограничения на перемещение в пространстве относительно других тел.
Эти ограничения называются связями .

Примерами связей, ограничивающих перемещение тела, может послужить поверхность или какая-либо опора, на которой лежит тело, жесткая заделка части тела в массив, исключающая любое его перемещение, а также гибкие и шарнирные связи, частично ограничивающие возможность тела перемещаться в пространстве.
Анализ таких связей позволяет понять, какие силовые факторы возникают в них при противодействии перемещению связанного тела. Эти силовые факторы называют силами реакции или реакциями связей (обычно их называют просто реакциями ) .
Силы, которыми тело воздействует (давит) на связи называют силами давления .
Следует отметить, что силы реакций и давлений приложены к различным телам, поэтому не представляют собой систему сил.

Силы, действующие на любое тело можно разделить на активные и реактивные.
Активные силы стремятся перемещать тело, к которому они приложены, в пространстве, а реактивные силы - препятствуют этому перемещению. Силы реакции связей относятся к реактивным силам.
Принципиальное отличие активных сил от реактивных заключается в том, что величина реактивных сил зависит от величины активных сил, но не наоборот. Активные силы часто называют .

При решении большинства задач статики несвободное тело условно изображают как свободное с помощью так называемого принципа освобождаемости , который формулируется следующим образом: всякое несвободное (связанное) тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их реакциями.

Типичные связи тел и их реакции

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся связи, а также возникающие в них реакции при приложении нагрузок.

Идеально гладкая плоскость

Реакция идеально гладкой плоскости направлена перпендикулярно опорной плоскости в сторону тела, так как такая связь не дает телу перемещаться лишь в одном направлении - в сторону опорной плоскости, т. е. перпендикулярно ей (см. рисунок 1,а) .
Если же тело находится на наклонной плоскости, то силу его тяжести G можно разложить на две составляющие, из которых одна будет направлена параллельно плоскости (Xa) , другая - перпендикулярно ей (Ya) . При этом первая сила будет стремиться передвигать тело по плоскости в сторону уклона, а вторая - прижимать его к плоскости (см. рисунок 1,б) .
Реакция наклонной плоскости будет равна по модулю составляющей, перпендикулярной плоскости и направлена в сторону, противоположную этой составляющей, уравновешивая ее. Если тело касается плоскости одной точкой (например, шар или угол) , то реакция будет приложена к этой точке тела.
В других случаях, когда тело касается плоскости некоторой поверхностью, имеет место взаимодействие посредством нагрузки, распределенной по этой поверхности (распределенной нагрузки).

Идеально гладкая поверхность

Идеально гладкая поверхность (отличается от плоскости криволинейностью) реагирует перпендикулярно касательной плоскости, т. е. по нормали к опорной поверхности в сторону тела, так как нормаль - единственное направление перемещения тела, которое не допускает данная связь (см. рисунок 1,в) .

Закрепленная точка или ребро угла

В случае, если перемещение тела ограничивается закрепленной точкой или ребром угла, реакция связи направлена по нормали к поверхности идеально гладкого тела в сторону тела, так как нормаль к поверхности тела - единственное направление, движение в котором ограничено этим видом связи (см. рисунок 1,г) .

Гибкая связь

Реакция гибкой связи (гибкая нить) не дает телу удаляться от точки подвеса и поэтому направлена вдоль связи от тела к точке подвеса, т. е. известны точка приложения реакции гибкой связи и ее направление. На рисунке 2 изображена гибкая связь, служащая связующим звеном между двумя стержнями и телом.

В конструкциях широкое распространение имеют связи, которые называются шарнирами. Шарнир представляет собой подвижное соединение двух тел (деталей) , допускающее только вращение вокруг общей точки (шаровой шарнир) или вокруг общей оси (цилиндрический шарнир) . Рассмотрим, какие реакции возникают при связывании тела с помощью шарниров.

Идеально гладкий цилиндрический шарнир

При связывании тела цилиндрическим шарниром возможно его перемещение вдоль оси шарнира и вращение относительно этой оси. Реакция цилиндрического шарнира расположена в плоскости, перпендикулярной его оси и пересекает эту ось. Направление вектора реакции шарнира на этой плоскости зависит от направления вектора нагрузки.
Примером цилиндрического шарнира может послужить обыкновенный подшипник качения.

Идеально гладкий шаровой шарнир

В этом случае заранее известно лишь то, что реакция проходит через центр шарнира, так как тело, связанное шаровым шарниром, может поворачиваться в любом направлении относительно оси шарнира, но не может совершать никаких линейных перемещений в пространстве, т. е. удаляться от центра шарнира или приближаться к нему.

Идеально гладкий подпятник

Подпятник можно рассматривать, как сочетание цилиндрического шарнира и опорной плоскости, поэтому реакция подпятника считается состоящей из двух составляющих: X a и Y a . При этом одна из реакций будет направлена вдоль нормали к опоре в сторону тела (как у опорной плоскости), другая - перпендикулярно оси подпятника (как у цилиндрического шарнира) .
Полная реакция подпятника будет равна векторной сумме этих составляющих: R a = X a +Y a .

Стержень, закрепленный шарнирно

Стержень, закрепленный двумя концами в идеально гладких шарнирах и нагруженный концами (рис. 2) , реагирует только по линии, соединяющей оси шарниров, т. е. вдоль своей оси (согласно III аксиоме статики) . При этом реакция стержня может быть направлена и к центру шарнира (точке крепления) , и от него (в зависимости от направления нагрузки) , поскольку этот вид связи удерживает тело на фиксированном расстоянии, не позволяя ему удаляться или приближаться. Этим стержень принципиально отличается от гибкой связи, у которой реакция всегда направлена от точки крепления в сторону связи (гибкая связь удерживает тело только от удаления, не запрещая ему приближаться к точке крепления) .

Жесткая заделка

Этот вид связи полностью лишает тело возможности перемещаться в любом направлении и вращаться относительно какой-либо оси или точки.
При жесткой заделке тела (рис. 3 ) в опоре возникает не только реактивная сила R A , но и реактивный момент М A .
Жесткая заделка является "темной лошадкой" при вычислениях, поскольку изначально ни направление реакций, ни их величина неизвестны, особенно если нагрузка представлена системой сил. Тем не менее, используя разложение активных сил на составляющие, последовательно можно определить и реактивную силу R A , и реактивный момент M A , действующие в жесткой заделке.
В случае, если тело связано не только жесткой заделкой, но и другим видом связи, задача становится нерешимой обычными методами статики, поскольку неизвестных реакций больше, чем возможное количество уравнений равновесия.

Пример решения задачи по определению реакций жесткой заделки приведен на этой странице .

Понятие бруса и балки в технической механике

В статике нередко приходится решать задачи на условие равновесия элементов конструкций, называемых брусьями.
Брусом принято считать твердое тело, у которого длина значительное больше поперечных размеров. Осью бруса считается геометрическое место (множество) центров тяжести всех поперечных сечений этого бруса.
Брус с прямолинейной осью, положенный на опоры и изгибаемый приложенными к нему нагрузками, называют балкой .

Условимся считать тело свободным , если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным , а тела, ограничивающие перемещения данного тела, связями . В точках контакта возникают силы взаимодействия между данным телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей . При перечислении всех сил, действующих на данное тело, необходимо учитывать и эти контактные силы (реакции связей).

В механике принимают следующее положение, называемое иногда принципом освобождаемости: всякое несвободное тело только тогда можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить реакциями их, приложенными к данному телу.

В статике полностью определить реакции связей можно с помощью условий или уравнений равновесия тела, но направления их во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств связей. В качестве простейшего примера рассмотрим тело, точка М которого соединена с неподвижной точкой О при помощи стержня, весом которого можно пренебречь; концы стержня имеют шарниры, допускающие свободу вращения. В данном случае для тела связью служит стержень ОМ . Cтеснение свободы перемещения точки М выражается в том, что она вынуждена находиться на неизменном удалении от точки О . Но, как мы видели выше, сила действия на такой стержень должна быть направлена по прямой ОМ . Согласно аксиоме 4 сила противодействия стержня (реакция) R должна быть направлена по той же прямой. Таким образом, направление реакции стержня совпадает с прямой ОМ . (В случае криволинейного невесомого стержня – по прямой, соединяющей концы стержня).

Аналогично сила реакции гибкой нерастяжимой нити должна быть направлена вдоль нити. На рис. Показано тело, висящее на двух нитях и реакции нитей R1 и R2 .

В общем случае силы, действующие на несвободное тело (или на несвободную материальную точку), можно разделить на две категории. Одну категорию образуют силы, не зависящие от связей, а другую категорию – реакции связей. При этом реакции связей, в сущности, носят пассивный характер. Они возникают лишь постольку, поскольку на тело действуют те или иные силы первой категории. Поэтому силы, не зависящие от связей, называют активными силами (иногда они называются заданными ), а реакции связей – пассивными силами.

На рис. 1.16 вверху показаны две равные по модулю активные силы F1 иF2 , растягивающие стержень АВ , внизу показаны реакции R1 и R2 растянутого стержня. На рис. показаны активные силыF1 иF2 , сжимающие стержень, внизу показаны реакции R1 и R2 сжатого стержня.

Рассмотрим еще некоторые типичные виды связей и укажем возможные направления их реакций. Модули реакций определяются активными силами и не могут быть найдены, пока последние не заданы определенным образом. При этом мы будем пользоваться некоторыми упрощенными представлениями, схематизирующими действительные свойства реальных связей.

1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без трения) поверхность, то точка контакта тела с поверхностью может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться вдоль нормали к поверхности. Реакция идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к соприкасающимся поверхностям.

Если твердое тело имеет гладкую поверхность и опирается на острие, то реакция направлена по нормали к поверхности самого тела.

Если твердое тело упирается острием в угол, то связь препятствует перемещению острия, как по горизонтали, так и по вертикали. Соответственно реакция R угла может быть представлена двумя составляющими – горизонтальной R х и вертикальной R у , величины и направления которых, в конечном счете, определяются заданными силами.

2. Сферическим шарниром называется устройство, которое делает неподвижной точку О рассматриваемого тела (центр шарнира). Если сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция сферического шарнира имеет направление нормали к этой поверхности. Поэтому единственное, что известно относительно реакции, – это то, что она проходит через центр шарнира О . Направление реакции может быть любым и определяется в каждом конкретном случае в зависимости от заданных сил и общей схемы закрепления тела. Точно также нельзя заранее определить направление реакции подпятника .

3. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора . Реакция такой опоры проходит через ее ось, причем направление реакции опоры может быть любым (в плоскости, перпендикулярной оси опоры).

4. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора препятствует перемещению закрепленной точки тела по перпендикуляру к плоскости опоры. Реакция такой опоры также имеет направление этого перпендикуляра.

5. Подпятник. Подпятник представляет собой соединение цилиндрического шарнира с опорной плоскостью. Такая связь позволяет вращаться валу вокруг его оси и перемещаться вдоль нее, но только в одном направлении.

Реакция подпятника складывается из реакции цилиндрического подшипника, лежащего в плоскости, перпендикулярной его оси (в общем случае она может быть разложена на составляющие R 1 и R 2), и нормальной реакции опорной плоскости R 3 .

На одно и то же тело может быть наложено одновременно несколько связей, возможно, различного типа. Три примера такого рода представлены на рис. На рис. изображены соответствующие системы сил. В соответствии с принципом освобождаемости, связи отброшены и заменены реакциями.

6. Реакции стержней направлены вдоль стержней (верхняя схема); при этом предполагается, что стержни невесомы и соединены с телом и опорами с помощью шарниров.

Реакции идеально гладких опорных поверхностей направлены по нормали к этим поверхностям (две нижние схемы). Кроме того, реакция цилиндрического подшипника в точке А (средняя схема) должна на основании теоремы о трех непараллельных силах проходить через точку пересечения линий действия сил F и R 2 – точку С .

7. Реакция R 1 идеально гибкой нерастяжимой и невесомой нити направлена вдоль нити (нижняя схема).

В механических системах, образованных путем сочленения нескольких твердых тел, наряду с внешними связями (опорами) имеются внутренние связи . В этих случаях иногда мысленно расчленяют систему и заменяют отброшенные не только внешние, но и внутренние связи соответствующими реакциями. Пример такого рода, в котором два тела соединены шарниром С , представлен на рис. Отметим, что силыR 2 и R 3 равны друг другу по модулю, но противоположно направлены (по аксиоме 4).

Отметим, что силы взаимодействия между отдельными точками данного тела называются внутренними , а силы, действующие на данное тело и вызванные другими телами, называются внешними . Из этого следует, что реакции связей являются для данного тела внешними силами.

Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ СПО

«Воронежский государственный

промышленно - технологический колледж».

Наумов О. Е.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Учебно-методическое пособие для подготовки

к зачету

ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКА

Воронеж 2012 г.

ББК 30.12

Данное методическое пособие представляет краткий сборник лекций по предмету «Элементы технической механики » студентов НПО профессии 30.20 «Автомеханик» и является дополнительным пособием для подготовки студентов к зачету и при выполнении расчетно-графических задач. Методическое пособие разработано в соответствии с рабочей программой по дисциплине, составленной на основе требований Государственного стандарта.

Рецензенты: профессор кафедры механизации

и проектирования машин ВГЛТА,

доктор технических наук

П.И. Попиков

доцент кафедры «Транспортных машин» ВГАСУ,

преподаватель спецдисциплин ГОУ СПО «ВГПТК» ,

кандидат технических наук

С.А.Никитин

Печатается по решению методического совета Воронежского государственного промышленно-технологического колледжа

Пояснительная записка.

Методическое пособие предназначено для студентов второго курса НПО специальности 30.20 «Автомеханик». Пособие составлено на основе образовательных стандартов и рабочей программы предмета «Элементы технической механики» при изучении курса объёмом 52 аудиторных часа. Оно является первой частью трех общих разделов курса и рассматривает вопросы

«Теоретической механики ». Пособие состоит из следующих разделов:

1.Статика.

2.Кинематика.

3.Динамика.

В пособии в краткой форме изложены основные теоретические вопросы, определения, формулы, которые рассматриваются на занятиях со студентами.

Материал построен таким образом, что по мере изучения основных формул и понятий каждой темы студенту предлагается ответить на вопросы. Рассматриваемые вопросы относятся к зачетному материалу, на них студент будет отвечать по окончанию изучения всего курса. Полный список вопросов для подготовки к зачету, и дополнительная литература предложена в конце пособия.

В методическом пособии намеренно опущены все поясняющие схемы и графические рисунки, так как они подробно рассматриваются на уроках предмета «Элементы технической механики» и в процессе решения расчетно-графических задач.

Такой нестандартный подход позволяет дифференцированно обучать и оценивать знания студентов. Слабому студенту он дает возможность усвоить минимальный объем знаний для сдачи зачета, сильному - более углубленно и творчески изучить предмет, преподавателю - высвободить время для прямого диалога со студентами при изучении сложных тем и разделов предмета «Элементы технической механики ».

Раздел 1. СТАТИКА

1. Основные понятия и аксиомы статики

Теоретическая механика - это наука, в которой изучается меха­ническое движение тел, и устанавливаются общие законы этого движения. Теоретическая механика разделяется на статику, кине­матику и динамику.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изу­чаются законы приведения и условия равновесия сил, действующих на материальные точки.

Встречающиеся в природе материальные тела обладают способ­ностью под действием приложенных сил в той или иной мере де­формироваться, т.е. менять форму вследствие изменения взаимного расположения образующих их частиц. Однако у большинства твер­дых тел (металлов, дерева) в нормальных условиях эти деформации пренебрежимо малы. Учет их приобретает практическое значение только при рассмотрении вопроса прочности соответствующих конструкций. Эти вопросы изучаются в разд. «Сопротивление ма­териалов». При рассмотрении же общих условий равновесия де­формациями большинства твердых тел в первом приближении можно пренебречь. В связи с этим в механике вводится понятие абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.

В статике мы будем рассматривать все тела как абсолютно твердые, в дальнейшем для краткости называя их твердыми телами или просто телами.

Другим основным понятием в статике являет­ся понятие силы.

Силой называется векторная величина, представляющая собой меру механи­ческого воздействия одних тел на другие.

Механическим воздейст­вием называется такое взаи­модействие материальных тел, в результате которого с течением времени происхо­дит изменение взаимного положения этих тел в про­странстве (механическое дви­жение) или изменение вза­имного положения частиц этих тел (деформация). На­пример, при штамповке деталей верхний штамп, падая, останавливается в результате взаимо­действия с нижним штампом. Если же между ними положить заго­товку, то в результате такого же взаимодействия происходит деформация заготовки.

Итак, сила Р как векторная величина имеет модуль Р, точку приложения А и направление (линию действия силы)

Проекции вектора силы Р на оси координат определяются сле­дующим образом:

Модуль вектора Р, т.е. значение силы, определяется по теоре­ме Пифагора:

Введем следующие определения:

Материальной точкой называется абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь, мысленно сосредоточив всю массу этого тела в точке. Например, движение спутника во­круг планеты можно рассматривать как движение материальной точки, так как размеры спутника ничтожно малы по сравнению с размерами планеты.

Системой сил называется совокупность нескольких сил, дейст­вующих на данное тело.

Две системы называются эквивалентными, если, действуя на одно и то же твердое тело, они производят одинаковое механиче­ское воздействие.

Силы, действующие на частицы тела со стороны других мате­риальных тел, называются внешними силами. Силы, действующие на частицы данного тела со стороны других частиц этого же тела, называются внутрен­ними силами.

Если под действием данной системы сил свободное тело может находиться в покое, то такая система сил называется уравновешен­ной или системой, эквивалентной нулю.

Если система сил эквивалентна одной си­ле, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке, назы­вается сосредоточенной силой. Силу, действующую на определен­ную часть поверхности тела, называют распределенной.

Какие системы сил называются эквивалентными, и как они связаны с внешними и внутренними силами?

Все теоремы и уравнения статики базируются на нескольких исходных положениях, принимаемых без математических доказа­тельств и называемых аксиомами. Аксиомы статики представля­ют собой результат знаний, накопленных человечеством, и отра­жают объективные процессы. Справедливость этих аксиом под­тверждается многочисленными опытами и наблюдениями.

Аксиома 1. Две силы, действующие на свободное аб­солютно твердое тело, находятся в равновесии тогда и только тогда, когда они равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 2 . Действие данной системы сил на абсолютно твер­дое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Следствие из аксиом 1 и 2: точку приложения силы, действую­щей на абсолютно твердое тело, можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Аксиома 3 . Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, являющуюся диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

Из аксиомы 3 следует, что равнодействующая двух сил, при­ложенных в одной точке, равна их геометрической сумме и при­ложена в той же точке.

Аксиома 4. Два материальных тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположно направленны­ми. Такая система сил не является уравновешенной, так как силы приложены к разным телам.

Аксиома 5 . Если деформируемое тело находится в равновесии под действием данной системы сил, то равновесие не нарушится, если тела станут абсолютно твердыми. Эта аксиома называется аксиомой затвердевания.

Из аксиомы 5 следует, что это условие, являясь необходимым и для абсолютно твердого тела и для деформируемого, не явля­ется для последнего достаточным.

Следствие из каких аксиом характеризует перенос сил вдоль линии её действия?

1. Связи и их реакции

Тело, которое может совершать любые перемещения в про­странстве, называется свободным. Примером свободного тела может служить самолет или снаряд, летящие в воздухе. В различ­ного рода сооружениях и конструкциях мы обычно встречаемся с телами, на перемещения которых наложены ограничения. Такие тела называются несвободными.

Тело, ограничивающее свободу движения твердого тела, является по отношению к нему связью. Если приложенные к телу силы будут стремиться сдвинуть его по тому или иному направлению, а связь препятствует такому пере­мещению, то тело будет воздействовать на связь с силой давления на связь. По аксиоме 4 статики связь будет действовать на тело с такой же силой, но противоположно направленной. Сила, с кото­рой данная связь действует на тело, препятствуя тому или иному перемещению, называется силой реакции связи.

Из изложенного следует принцип освобождаемости твердого тела от связи, или аксиома связи: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно отбро­сить наложенные на тело связи и приложить вместо них силы реакции этих связей.

Силы, действующие на тела, будем разделять на заданные, или активные силы, и реакции связей, или пассивные силы .

Активные силы отличаются тем, что модуль и направление каждой силы наперед известны и не зависят от действия других приложенных к данному телу сил. Примерами активных сил могут служить мускульная сила человека, сила тяжести, сила сжатой пружины.

Реакции связи на покоящееся тело возникают лишь в тех случаях, когда это тело под действием активных сил оказывает давление на связь, поэтому они и называются пассивными си­лами.

По аксиоме связи реакция связи направлена в сторону, про­тивоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Сле­довательно, если известно, в каком направлении связь препятст­вует перемещению твердого тела, то известно и направление реакции связи.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей.

1. Гладкая поверхность или плоскость . Гладкой бу­дем называть такую поверхность, на которой в первом прибли­жении можно пренебречь трением. Связь в виде гладкой поверх­ности не дает телу перемещаться только в одном направлении - перпендикулярном к этой поверхности. Поэтому реакция глад­кой поверхности направлена по нормали к этой поверхности и приложена к телу в точке касания.

2. Гладкая опора. Связь, осуществленная в виде гладкой опоры, не дает телу перемещаться в направлении, перпендикуляр­ном к поверхности тела в точке опоры. Реак­ция гладкой опоры направлена по нормали к опирающейся по­верхности и приложена к телу в точках касания .

3. Нить . Связь, осуществляемая в виде гибкой нити, не позволяет телу удаляться от точки привеса, поэтому реакция связи всегда направлена вдоль нити к точке ее закрепления.

4. Цилиндрический шарнир . Цилиндрический шарнир допускает вращение вала, но препятствует его перемеще­нию в плоскости хОу. Поэтому реакция цилин­дрического шарнира расположена в плоско­сти, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные проекции на оси Ох и Оу.

5. Невесомый стержень . Жесткий невесомый (массой его пренебрегают) стержень, шарнирно прикрепленный к телу, испытывает действие только двух сил, приложенных в шар­нирах А и В. Как и вся конструкция, стержень АВ находится в равновесии. Если стержень находится в равновесии под действием двух сил, то в соответствии с аксиомой 1 статики эти силы должны быть равны по модулю, но противоположно направлены по одной линии действия.

6. Жесткая заделка. Заделка исключает возможность лю­бых перемещений вдоль осей Ох и Оу, а также поворот в плоскости хОу. Поэто­му такая связь при освобождении тела от связи будет заменяться реакцией

Какая из связей допускает вращение вала препятствуя его перемещению вдоль оси?

1. Плоская система сил

Система сил, линии, действия которых лежат в одной плоско­сти, называется плоской.

На плоскости могут быть приложены произвольно располо­женные силы, пары сил и силы, сходящиеся в одной точке. Рас­смотрим равновесие системы сходящихся сил.

Сходящимися называются силы, линии, действия которых пере­секаются в одной точке. Существуют два способа сложения пересекающихся сил: геометрический и аналитический.

Условием равновесия системы сходящихся сил является равен­ство нулю модуля равнодействующей, т.е. силовой многоуголь­ник должен быть замкнутым (при геометрическом способе сложе­ния) или, аналитически, проекции равнодействующей силы на оси координат должны быть равны нулю. Отсюда для плоской системы сходящихся сил получим два уравнения равнове­сия этих сил:

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необхо­димо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю.

Моментом силы F относительно некоторого центра О называ­ется величина, равная произведению силы на кратчайшее рас­стояние от точки О до линии действия силы и взятая с соответст­вующим знаком. Знак «плюс» соответствует моменту силы, кото­рая стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часо­вой стрелки, а знак «минус» - если сила стремится повернуть тело по направлению движения часовой стрелки. Если линия действия силы проходит через точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

Перпендикуляр, опущенный из точки О на линию действия си­лы F , называется ее плечом относительно центра О.

Пара сил. Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил, приложенных телу в двух разных точках, называется парой сил.

Плечом пары называется кратчайшее рас­стояние между линиями действия сил, составляющих пару.

Мо­ментом пары сил называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение модуля одной из сил на плечо пары.

Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной си­лой, равной геометрической сумме всех сил, приложенных в произ­вольно выбранном центре, и моментом, равным алгебраической сумме моментов присоединенных пар.

Полученная в результате приведения сила R называется резуль­тирующей силой (она не является равнодействующей для задан­ной системы сил, так как не заменяет их действия), а М 0 - резуль­тирующим моментом.

Приняты следующие определения:

1. Точка О называется центром приведения .

2. Вектор R, равный геометрической сумме всех сил, является главным вектором. Его значение не зависит от выбора центра приведения, т.е. R - инвариантная величина.

3. Момент М 0 , равный алгебраической сумме моментов при­соединенных пар, называется главным моментом; его значение зависит от выбора центра приведения.

1.4. Частные случаи приведения.

1. R=0, М 0  0 - система сил приводится к паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения. В этом случае главный момент не зависит от центра приведения.

2. R  0, М о =0 - система приводится к одной равнодействую­щей силе, приложенной в точке О; главный вектор в этом случае является равнодействующей, так как он один заменяет совокуп­ность действующих сил.

3. R  0, М 0  0 - такая система сил может быть заменена од­ной равнодействующей силой, приложенной в новом центре при­ведения, расположенном от прежнего на расстоянии d = М 0 /R.

4. R = 0, М о = 0 - плоская система сил находится в равновесии.

Аналитические условия равновесия плоской системы сил. Необ­ходимыми и достаточными условиями равновесия являются: R = 0 и М 0 = 0. Спроектировав вектор R на оси координат, получим

R х = 0 и R у = 0, так как

(1.1)

Зная, что

(1.2)

получим

аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил:

(1.3)

Часто эти уравнения называют основными уравнениями равновесия. В зависимости от расположения сил иногда целесообразно составлять условия равновесия в виде двух уравнений моментов и одного уравнения проекций:

В этом случае ось Ох не должна быть перпендикулярна АВ.

1. 1. Пространственная система сил

Пространственной будем называть систему сил, линии, действия которых имеют любые направления в пространстве.

Момент силы относительно точки (центра). Вектор момента силы относительно некоторого центра есть векторное произведе­ние радиуса-вектора точки приложения силы, проведенного из этого центра, на вектор силы

В соответствии с опре­делением

(1.4)

Модуль вектора момента силы относи­тельно центра О будет равен моменту силы относительно точки О, находящейся с этой силой в одной плоскости.

Известно, что всякий вектор можно разложить по осям коор­динат, так же можно разложить по осям координат радиус-вектор r точки приложения силы и силу F.

Проекции вектора момента силы на ось численно равны мо­менту силы относительно оси:

М х = yF z - zF у;

М y = zF х – хF z ; (1.5)

М z = хF у - уF х;

(1.6)

Первые три уравнения являются аналитическим выражением для определения моментов силы относительно осей координат.

Теорема о приведении пространственной системы сил к задан­ному центру. Всякая пространственная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой, геометрически равной сумме всех действующих сил, приложенных в произвольно выбранном цент­ре, и вектором-моментом, равным геометрической сумме моментов всех сил относительно центра при­ведения.

Аналитическое выражение для определения главного вектора и главного момента. Главный вектор R и главный момент М 0 были найдены геометрическим путем (построением векторных много­угольников). Для пространственной системы сил их проще опреде­лять аналитически. Принимаем центр приведения за начало коор­динат. Тогда, проектируя на оси координат векторные равенства, получаем:

(1.7)

Что называется главным вектором системы сил, и зависит ли он от точки приведения?

Частные случаи приведения. Любая произвольная пространст­венная система может быть заменена главным вектором и глав­ным моментом. Рассмотрим возможные частные случаи:

а) случай равновесия:

M 0 = 0 ; R = 0

б) система сил сводится к паре (твердое тело вращается):

R = 0 ; М 0  0 ;

в) система сил сводится к равнодействующей:

1-й случай – R  0, М 0 = 0 - равнодействующая проходит че­рез центр приведения (точку О);

2-й случай – R  0 , М 0  0 - при этом и результирующая сила и результирующая пара лежат в одной плоскости, т.е. R  М 0 . Это частный случай плоской системы сил. Ранее было показано, что такой случай может иметь равнодействующую, приложенную не в центре приведения, а в другой точке, отстоящей от него на расстоянии, равном М 0 /R. Таким образом пространственная систе­ма заменена одной равнодействующей, не проходящей через центр приведения;

г) система сводится к динамическому винту:

R  0 ; М 0  0 ,

и они не перпендикулярны.

Аналитические условия равновесия пространственной системы сил. Необходимыми и достаточными условиями равновесия про­извольной пространственной системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента:

R = 0; М 0 = 0.

Поскольку

(1.8)

то R х , R у и R z должны быть

равны нулю. Аналогичное рассуждение справедливо и для векто­ра главного момента. Следовательно, для равновесия произволь­ной пространственной системы сил необходимо и достаточно:

(1.9)

Запишите основные уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

1.6. Определение центра тяжести

Центр тяжести твердого тела. Силы притяжения отдельных частиц тела направлены приблизительно к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодейст­вующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела, а центр этой системы параллельных сил, в котором приложен вес тела, называется центром тяжести тела.

Точка приложения равнодействующей системы параллельных сил действующих на одно твердое тело называется центром параллельных сил. Положение центра параллельных сил относительно начала координат определяется координатами центра параллельных сил x C , y C , z C .

Координаты центра параллельных сил определяются по формулам:

(1.10)

Координаты центра тяжести твердого тела. Если в формулах для определения координат центра параллельных сил вместо F iх , F iy , F iz , и R подставить т i g х т i g у , т i g z , и тg, то получим зависимо­сти для определения координат центра тяжести тела:

(1.11)

где т i , v i - соответственно масса и объем каждой частицы твер­дого тела, а т и V - вся масса и объем однородного тела.

1. Способы определения центров тяжести.

Способ разбиения на фигуры, положение центров тяжести кото­рых известно. Применяется в случаях, когда тело можно разбить на конечное число элементов.

Способ дополнения является частным случаем способа разбие­ния на простейшие фигуры. Применяется, когда тело разбивается на простейшие фигуры, положения центров тяжести которых известны, но некоторые из геометрических фигур представляют из себя пустоты.

Способ интегрирования применяется в случаях, когда для опре­деления центра тяжести не могут быть применены первые два способа.

Экспериментальный способ осуществляется двумя методами - подвешивания и взвешивания.

Метод подвешивания заключается в том, что плоское тело, которое нельзя разбить на простейшие фигуры с известным положением центра тяжести, подвешивают на нити. Прочерчи­вают линию вдоль этой нити на плоскости тела. Затем эту пло­скую фигуру открепляют и подвешивают за другую точку, после чего вновь проводят вертикальную линию (вдоль линии подвеса). Пересечение этих двух линий дает точку, в которой находится центр тяжести.

Метод взвешивания. Обычно применяется для крупных изделий: самолетов, вертолетов и других машин. Если известна масса, то ставят на весы задние колеса и по показанию весов определяют реакцию. Затем со­ставляют одно из уравнений равнове­сия , и далее находят искомую величи­ну, т.е. положение центра тяжести.

Перечислите способы определения координат центра тяжести твердого тела. Укажите отличие экспериментального способа от способа дополнения.

Раздел 2. КИНЕМАТИКА.

2.1. Кинематика точки

Основные понятия. Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, вызывающими это движение.

В теоретической механике изучается простейшая форма дви­жения - механическое движение. Механическое движение всегда рассматривается относительно выбранной системы отсчета, кото­рая может быть подвижной или условно неподвижной. Например, при рассмотрении механического движения тел, находящихся на земле, за неподвижную систему осей координат выбираем систему осей, неизменно связанных с Землей.

Что изучает кинематика?

Способы задания движения материальной точки. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, или траекто­рию точки.

Движение точки будет задано естественным способом, если будут известны:

траектория точки - S ;

зависимость измене­ния длины участка траектории от времени или уравнение движения материальной точки

- S = f (t ) (2.1.)

начало дви­жения;

направление отсчета.

Положение точки в пространстве определяется ра­диусом-вектором r , проведенным из некоторого неподвижного центра в данную точку М. Такой способ задания движения называется векторным.

Положение точки в пространстве в этом случае будет опреде­ляться геометрическим местом концов векторов r .

При координатном способе задания движения долж­ны быть известны зависимости, по которым можно определить, как со временем изменяются коор­динаты точки в пространстве:

x = f 1 (t ) ; y = f 2 (t ) ; z = f 3 (t ) (2.2)

Эти уравнения называются урав­нениями движения точки в декарто­вых координатах, с их помощью для каждого момента времени можно определить положение точки в про­странстве. Если точка движется на плоскости, то ее положение опреде­лится двумя уравнениями

x = f 1 (t ) ; y = f 2 (t ) (2.3)

если точка движется по прямой, то ее движение определится только одним уравнением:

x = f 1 (t ) (2.4)

2.2. Скорость точки.

Скорость точки характеризует быстроту и на­правление движения точки. При векторном способе задания дви­жения положение точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором r 1 = r(t).

Пусть в момент времени t точка занимает положение М, опре­деляемое радиусом-вектором r = r(t) . В момент времени t +  t точка займет положение М 1 , определяемое радиусом-вектором r , . Этот радиус-вектор будет равен сумме: r 1 = r +  r .

Отношение  r / t является вектором средней скорости, а векторная производная от r по времени t и будет вектором скорости в данный момент времени:

(2.5)

Поскольку v есть производная от функции r = r(t) , то вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории дви­жения материальной точки.

Если же движение точки задано естественным способом, то из­вестны ее траектория АВ, начало движения, направление и урав­нение движения

S = S (t ) (2.6)

Воспользуемся полученной зависимостью для скорости
и представим величину средней скорости без учета единичного вектора

(2.7)

Поскольку  S - величина скалярная, то вектор  S /  t будет иметь направление касательной к траектории в точке М.

При движении точки по криволинейной траектории оценку скорости целесообразно проводить на предельно малом участке при условии что время стремится к предельно малому значению:

(2.8)

Производная представляет собой алгебраическое значе­ние скорости.

Абсолютная скорость материальной точки есть дифференциал пути по времени или первая производная пути от времени.

Так как скорость является векторной величиной, то для пространственной системы отсчета ее абсолютная величина будет равна диагонали параллелепипеда построенного на проекциях векторов скоростей v х , v у и v z . Тогда модуль вектора скорости можно определить:

(2.9)

2.3. Ускорение точки.

Вектор ускорения точки

(2.10)

Абсолютное ускорение материальной точки есть дифференциал скорости по времени или вторая производная пути от времени. Если известны проекции а х , а у и а z этого вектора на оси коор­динат, то можно определить модуль ускорения:

(2.11)

При естественном способе задания траектории движения мате­риальной точки ее вектор ускорения можно разложить по естест­венным осям координат a  и a n :

(2.12)

Проекция ускорения на орт a  называется касательным ускоре­нием, которое изменяет модуль скорости:

(2.13)

Касательное ускорение существует только при неравномерном криволинейном движении.

Нормальное ускорение a n изменяет направление векто­ра скорости v , поэтому материальная точка движется по криво­линейной траектории

(ρ - радиус кривизны траектории).

(2.14)

2.4. Частные случаи движения материальной

точки.

1. a n = 0 ; а τ = 0. Следовательно, полное ускорение а = 0. Точка движется равномерно по прямой линии. Закон движения в этом случае

S = S 0 + v 0 t (2.15)

где S 0 - дуговая координата в начальный момент времени; v 0 -скорость движения точки в начальный момент движения (ско­рость не изменится и в любой другой момент времени t , так как движение не ускоренное).

2. а n ≠ 0; а τ = 0. - равномерное криволи­нейное движение. Вектор скорости мате­риальной точки изменяется лишь по на­правлению. Закон движения по криволи­нейной траектории запишется аналогично первому случаю:

S = S 0 + v 0 t (2.16)

3. a n = 0 ; а τ ≠ 0 - прямолинейное уско­ренное движение по закону

(2.17)

4. a n ≠ 0; а τ ≠ 0 - криволинейное уско­ренное движение по закону

(2.18)

2.5. Простейшие движения твердого тела

Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, взятая на теле, во время движения остается параллельной своему начальному положению.

При поступательном движении все точки описывают одинако­вые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения. Это основное свойство поступа­тельного движения дает возможность изучать движение по одной из его точек. Примером поступательного движения является дви­жение поршня паровой машины, ползуна с резцом в поперечно-строгальном станке. В этих случаях траектории точек тела прямо­линейные. В спарнике двух колес (рис. 1.) траектории точек пред­ставляют окружность; сам спарник АА 1 движется поступательно, а колеса вращаются. Существуют еще более сложные траектории движения точек при поступательном движении тела. При выпуске шасси у истребителя МиГ-21 колеса совершают поступательное движение, причем траектории точек колеса имеют пространствен­ную кривую.

Рис.1.

Вращательное движение относительно неподвижной оси. Вра­ щательным называется такое движение твердого тела, при кото­ ром точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных непод­ вижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Для осуществ­ления этого движения следует неподвижно закрепить две точки твердого тела А и В (рис. 2). Тогда прямая, проходящая через эти точки, является осью вращения.

При вращении тела угол поворота тела меняется в зависимости от времени:

φ = f (t) (2.19) Рис. 2

Эта зависимость называется уравнением вращательного движе­ ния тела.

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворо­та φ с течением времени, называется угловой скоростью тела. Ее значение определяется по формуле

(2.20)

Учитывая, что S = r φ и, следовательно,

,

Получим
(2.21)

Отсюда найдем линейную скорость точки вра щающегося тела

v M = ω r . (2.22)

Величина, характеризующая быстроту из­менения угловой скорости с течением време­ни, называется угловым ускорением

(2.23)

Если dω / dt > 0 и dφ / dt > 0, то движение ускоренное; если dω / dt < 0, a dφ / dt > 0 , то движение замедленное.

Какое движение называется поступательным,

а какое - вращательным?

2.6. Частные случаи вращательного

движения тела.

1. ω = const - равномерное вращательное движение по

закону

φ = φ 0 + ω t (2.24)

ε = const - равнопеременное вращательное движение

(равно­ускоренное или равнозамедленное). Его закон движения:

(2.25)

Плоское движение твердого тела. Плоским, или плоско-парал­ лельным, движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, парал­ лельной некоторой неподвижной плоскости. Примерами плоского движения являются движение шайбы по льду, колеса поезда по прямолинейному участку пути.

Плоское движение тела можно разложить на поступательное и вращательное относительно выбранного центра. На рис. 3 пока­зано, что тело из положения I можно переместить в положение II , используя два варианта.

вариант. Перемещаем тело поступательно так, чтобы прямая АВ, перемещаясь параллельно самой себе, заняла в пространстве положение А 2 В 1 . После этого повернем тело вокруг точки В 1 на угол φ 1 .

вариант. Переместим тело поступательно из положения I так, чтобы прямая А В совместилась с прямой А 1 В 2 , ей параллельной. После этого будем вращать тело вокруг точки A 1 до тех пор, пока точка В 2 не попадет в точку В 1 . Поскольку A 1 B 2 || A 2 B 1 , то углы φ 1 = φ 2 . Следовательно, чтобы занять положение II , тело может

Рис. 3

совершить различные поступательные движе­ния (в зависимости от выбранного полюса), а вращение, как в первом, так и во втором варианте, будет одинаковым.

Следовательно, любое плоское движение можно разложить на

поступательное движе­ние тела вместе с выбранным полюсом и

вра­ щательное относительно полюса. Рис. 4
Чаще всего за такой полюс выбирают центр масс тела.

Мгновенный центр скоростей. Неизменно связанная с телом точка, скорость которой равна нулю, называет­ся мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей (МЦС) лежит на перпендикулярах к скоростям точек тела, опу­щенных из этих точек (рис. 4). Различные случаи определения мгновенного центра скоростей показаны на рис. 5, а-в.

Рис. 5

Преобразование движений. В машинах очень часто происходит преобразование одного движения в другое. Например, в кривошипно-шатунном механизме (рис.6) кривошип ОА совершает вращательное движение, которое преобразуется в поступательное перемещение ползуна В. При решении практических задач бывает необходимо найти законы этого движения или скорости. Рассмот­рим пример.

Рис. 6.

Раздел 3. ДИНАМИКА.

1. Законы динамики и уравнения

движения точки

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.

В основе динамики лежат законы, сформулированные Ньютоном.

Первый закон - закон инерции, установленный Галилеем, гласит: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит это состояние.

Второй закон - основной закон динамики - устанавливает связь между ускорением, массой и силой: ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление. Запишем этот закон в форме, которую придал этому закону Эйлер (рис. 7):

та = F . (3.1)

В классической механике мас­са т принята за постоянную ве­личину. Масса является мерой инертности материальных тел в их поступательном движении. Запишем основной закон дина­мики в виде скалярных равенств, проектируя векторное равенство на оси координат: Рис.7

ma x = F x

та у = F y (3.2)

ma z = F z .

Третий закон формулируется следующим образом: всякому дей­ ствию соответствует равное и противоположно направленное про­ тиводействие. Этот закон устанавливает, что при взаимодействии двух тел, в каком бы кинематическом состоянии они не находились, силы, приложенные к каждому из них,

равны по модулю и направ­лены по одной прямой впротивоположные стороны.

Что называется динамикой?

Четвертый закон не был сформулирован Ньютоном как отдель­ный закон механики, но таковым можно считать сделанное им обобщение правила параллелограмма сил: несколько одновременно действующих сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщала бы одна сила, равная их геометрической сумме.

Векторное выражение основного закона динамики можно спро­ектировать либо на декартовы, либо на естественные оси коорди­нат. В первом случае получим уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат:

(3.3)

где

Во втором случае получим естественные уравнения движения:

m a n = F n ; т а τ = F τ ; m a n = F n (3.4)

где а п = v 2 / ρ ; a τ = d 2 S / dt 2 .

Назовите отдельный закон механики обобщающий векторное действие сил в пространстве.

3.2. Силы, действующие на точки

механической системы.

Механической системой называют мысленно выделенную сово­купность материальных точек, взаимодействующих между собой. Механическую систему иногда называют материальной системой или системой материальных точек. Существуют системы свободных точек (например, Солнечная система) и несвободных матери­альных точек (их движения ограничены связями). Примером сис­темы несвободных точек может служить любой механизм или машина.

Все силы, действующие на систему несвободных точек, можно разделить на задаваемые силы и реакции связей.

По другому признаку силы, действующие на точки любой ме­ханической системы, можно разделить на внешние и внутренние. Условимся обозначать внешние силы F E , а внутренние силы F J .

Внешними называют силы, действующие на точки системы со стороны материальных точек, не входящих в состав данной системы.

Внутренними силами называются силы взаимодействия между материальными точками данной механической системы. Примером внутренних сил могут служить силы упругости, действующие между частицами упругого тела, принятого за механическую систему.

Одна и та же сила может быть как внешней, так и внутренней в зависимости от того, какая механическая система рассматривается. Например, реакции подшипников вала являются внешними силами по отношению к валу. Эти же реакции можно отнести к внутренним силам, если рассматривать всю установку вместе со станиной.

Таким образом, в зависимости от типа классификации сил лю­бая сила может быть внешней или внутренней, в то же время она может быть задаваемой или реакцией связи. Движение точек системы зависит как от внешних, так и от внутренних сил.

По закону равенства действия и противодействия каждой внут­ренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению.

На основании этого можно сделать следующие выводы:

Главный вектор всех внутренних сил системы равен нулю:

(3.5)

Следовательно, и суммы их проекций на координатные оси также равны нулю:

(3.6)

Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра и координатных осей равен нулю:

(3.7)

Или

(3.8)

Хотя эти уравнения имеют вид уравнений равновесия сил, про­извольно приложенных в пространстве, но внутренние силы не уравновешиваются, так как они приложены к разным точкам системы и могут вызвать перемещение этих точек относительно друг друга.

Если механическая система состоит из некоторого количества материальных точек k , то определив центр масс такой системы и используя основной закон динамики учитывая что главный вектор равен нулю можно получить уравнения:

Вычислим работу силы, постоянной по модулю и направлению (рис.8). Предположим, что точка М перемещается в точку М х . Вектор силы F с вектором перемещения составляет угол а. В этом случае работу выполняет только та составляющая силы, которая совпадает с направлением вектора перемещения U :

(3.10)

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов
Следовательно, работа постоян ной по модулю и направлению силы на прямо­ линейном перемещении опреде-ляется скаляр­ ным произведением Рис. 8.

вектора силы на вектор перемещения ее точки приложения:

(3.11)

Рассмотрим частные случаи определения работы постоянной силы.

1. Сила F действует на тело в направлении вектора перемеще­ния U : A = FU .

2. Сила F направлена перпендикулярно вектору перемещения U : А = 0.

3. Сила F направлена в сторону, противоположную вектору перемещения U : А = - F U .

4. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, а опре­деляется только расстоянием по вертикали между начальной и конечной точками перемещения: если точка перемещается сверху вниз, то работа силы тяжести положительная:

А = mgH , (3.12)

где H - перепад высот;

если точка перемещается снизу вверх, то работа силы тяжести отрицательная:

А = - m g H . (3.13)

Из этого следует важный вывод: работа силы тяжести на замк­ нутом пути равна нулю.

3.4. Мощность

Одна и та же работа может быть выполнена за различные про­межутки времени. Поэтому вводят понятие мощности N , которая определяется отношением работы ко времени.

Если в выражение мощности подставить вместо перемещения U =vt , то при равномерном прямолинейном движении мощность можно определять через силу и скорость движения:

N = F v cosα (3.14)

При работе машин часто бывает необходимо выразить мощ­ность через угловую скорость вращения ω . Для равномерного вра­щательного движения справедлива следующая формула:

(3.15)

где M кр - крутящий момент относительно оси вращения; п - частота вращения, об/мин.

Что называется мощностью?

3.5. Коэффициент полезного действия

Чтобы произвести полезную работу, необходимо затратить не­сколько большую работу, так как часть ее расходуется на преодо­ление сил сопротивления (сил трения в зубчатых передачах и опо­рах, сопротивления воздуха и другой среды, в которой перемеща­ется материальная точка). Эффективность работы какой-либо установки или машины оценивается коэффициентом полезного действия η .

Коэффициентом полезного действия (КПД) машины называют отношение полезной работы к полной затраченной работе:

(3.16)

Вопросы и задания к зачету по разделу

«Теоретическая механика»

Что изучает теоретическая механика?

Что называется абсолютно твердым телом?

Какие системы сил называются эквивалентными, как они связаны с внешними и внутренними силами?

Следствие из каких аксиом характеризует перенос сил вдоль линии её действия?

В чем состоит принцип освобождаемости твердого тела от связи?

Чем отличаются активные силы от пассивных?

Какая из связей допускает вращение вала, препятствуя его перемещению вдоль оси?

Что называется плоской системой сил?

Что называется моментом силы относительно точки?

Чем отличается сходящиеся силы от произвольно расположенных?

Что называется главным вектором системы сил, зависит ли он от точки приведения?

Запишите основные уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.

Запишите основные уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

Запишите формулы координат центра тяжести объемного твердого тела.

Перечислите способы определения координат центра тяжести твердого тела.

Укажите отличие экспериментального способа от способа дополнения.

Что изучает кинематика?

Какие два способа задания движения материальной точки вы знаете? Запишите формулу естественного способа.

Укажите основные отличия определения средней и абсолютной скорости.

Как между собой связаны касательное и нормальное ускорение?

Что называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением?

Как от касательного и нормального ускорения зависит характер движения материальной точки?

Какое движение называется поступательным, а какое - вращательным?

Что такое плоское движение твердого тела?

Что называется мгновенным центром скоростей?

Что называется динамикой?

Назовите отдельный закон механики, обобщающий векторное действие сил в пространстве.

Что называется механической системой?

Запишите теорему о движении центра масс механической системы.

Что такое работа постоянной силы на прямолинейном пути?

От каких факторов зависит работа силы действующей силы?

Что называется мощностью?

Что называется коэффициентом полезного действия?

Литература.

Вереина Л.И. Техническая механика: учебник для среднего проф. образов. – М.: Издательский центр «Академия»,2004. – 288с.

Аркуша А.И. Техническая механика: учеб. для средних спец. учеб. Заведений – М.:Высш.шк.,2003. – 352с.: ил;

Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических заданий: учебное пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – 349с., ил. – (Профессиональное образование)

Для заметок

Для заметок

Учебно-методическое пособие

для подготовки к зачету студентов НПО

профессии 30.20 «Автомеханик»

Составил: преподаватель технических дисциплин

К.п.н. Наумов О. Е.

Редактор: к.т.н. Старчакова О.К.

ГОУ СПО

« Воронежский государственный промышленно - технологический колледж »

г. Воронеж, ул. 9 – го Января, д. 270