1. Формулы для вычисления вероятности событий

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой , если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q = 1- p .

Определение . Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

последовательность n испытаний взаимно независима,

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие - “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в n испытаниях произошло ровно m “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p () =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

где - число сочетаний из n элементов по m :

=
=
.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение . “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” - p =, а вероятность “неудачи” - q = 1 - =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А=
,

где В 3 0 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В 3 1 - событие, когда интересующая грань появится один раз,

В 3 2 - событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p (А ) = р (
) = p (
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p (B )> 0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p (A  B ). Тогда по определению

p (A  B ) =
. (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A :

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна
. Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C .

Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A 1 A 2  A n определяется формулой

p (A 1 A 2  A n ) = p (A 1) p (A 2  A 1)) p (A n  A 1 A 2  A n- 1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p (AB ) = p (A  B) p {B ) = p (B  A ) p {A ). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A 1 = {первое изделие бракованное},

A 2 = {второе изделие бракованное},

A 3 = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A 1 A 2 A 3 .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p (A ) = р( A 1 A 2 A 3 ) = p (A 1) p (A 2  A 1))p (A 3  A 1 A 2).

Классическое определение вероятности позволяет найти p (A 1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p (A 1)= ;

p (A 2) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p (A 2  A 1))= ;

p (A 3) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p (A 3  A 1 A 2)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p (A ) ==
.

Зная, что вероятность можно измерить, попробуем выразить ее в цифрах. Существуют три возможных пути.

Рис. 1.1. Измерение вероятности

ВЕРОЯТНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ СИММЕТРИЕЙ

Существуют ситуации, в которых возможные исходы равновероятны. Например, при бросании монеты один раз, если монета стандартная, вероятность появления «орла» или «решки» одинакова, т.е. Р(«орел») = Р(«решка»). Так как возможны лишь два исхода, то Р(«орел») + Р(«решка») = 1, следовательно, Р(«орел») = Р(«решка») = 0,5.

В экспериментах, где исходы имеют равные шансы появления, вероятность события Е, Р (Е) равна:

Пример 1.1. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Для начала найдем все возможные исходы: Чтобы убедиться, все ли возможные варианты мы нашли, воспользуемся диаграммой в виде дерева (см. гл. 1 раздел 1.3.1).

Итак, имеются 8 равновозможных исходов, следовательно, вероятность из них равна 1/8. Событие Е - два «орла и «решка - произошло три . Поэтому:

Пример 1.2. Стандартная игральная кость брошена два раза. Какова вероят того, что сумма очков равна 9 или больше?

Найдем все возможные исходы.

Таблица 1.2. Общее количество очков, получаемое при двукратном бросании игральной кости

Итак, в 10 из 36 возможных исходов сумма очков равна 9 или следовательно:

ВЕРОЯТНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ЭМПИРИЧЕСКИ

Пример с монетой из табл. 1.1 наглядно иллюстрирует механизм определ вероятности.

При общем числе экспериментов из которых удачных, верояп требуемого результата подсчитывается так:

Отношение есть относительная частота появления определен результата при достаточно продолжительном эксперименте. Вероятность подсчитывается либо на основе данных проведенного эксперимента, основе прошлых данных.

Пример 1.3. Из пятисот протестированных электроламп 415 проработали более 1000 часов. На основе данных этого эксперимента можно заключить, что вероятность нормального функционирования лампы данного типа более 1000 часов составляет:

Примечание. Контроль имеет разрушающий характер, поэтому не все лампы могут быть проверены. Если бы была протестирована только одна лампа, то вероятность составила бы 1 или 0 (т.е. сможет проработать 1000 часов или нет). Отсюда следует необходимость повторения эксперимента.

Пример 1.4. В табл. 1.3 приведены данные о стаже мужчин, работающих в фирме:

Таблица 1.3. Стаж работы мужчины

Какова вероятность того, что следующий принятый на работу в фирму человек проработает не меньше двух лет:

Решение.

Из таблицы видно, что 38 из 100 работников работают в компании больше двух лет. Эмпирическая вероятность того, что следующий работник останется в компании на срок более двух лет равна:

При этом мы предполагаем, что новый работник «типичен, а условия работы неизменны.

СУБЪЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ

В бизнесе часто возникают ситуации, в которых отсутствует симметрия, и экспериментальных данных тоже нет. Поэтому определение вероятности благоприятного исхода под влиянием взглядов и опыта исследователя носит субъективный характер.

Пример 1.5.

1. Эксперт по инвестициям считает, что вероятность получения прибыли в течение первых двух лет равна 0,6.

2. Прогноз менеджера по маркетингу: вероятность продажи 1000 единиц товара в первый месяц после его появления на рынке равна 0,4.

вероятность (probability) - число от 0 до 1, которое отражает шансы того, что случайное событие произойдет, где 0 - это полное отсутствие вероятности происхождения события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет.

Вероятность события E является числом от до 1.
Сумма вероятностей взаимоисключающих событий равна 1.

эмпирическая вероятность - вероятность, которая посчитана как относительная частота события в прошлом, извлеченная из анализа исторических данных.

Вероятность очень редких событий нельзя посчитать эмпирически.

субъективная вероятность - вероятность, основанная на личной субъективной оценке события безотносительно исторических данных. Инвесторы, которые принимают решения о покупке и продаже акций зачастую действуют именно исходя из соображений субъективной вероятности.

априорная вероятность -

Шанс 1 из… (odds) того что событие произойдет через понятие вероятности. Шанс появления события выражается через вероятность так: P/(1-P).

Например, если вероятность события 0,5, то шанс события 1 из 2 т.к. 0,5/(1-0,5).

Шанс того, что событие не произойдет вычисляется по формуле (1-P)/P

Несогласованная вероятноть - например в цене акций компании А на 85% учтено возможное событие E, а в цене акций компании Б всего на 50%. Это называется несогласованная вероятность. Согласно теореме голландских ставок, несогласованная вероятность создает возможности для извлечения прибыли.

Безусловная вероятность - это ответ на вопрос «Какова вероятность того, что событие произойдет?»

Условная вероятность - это ответ на вопрос: «Какова вероятность события A если событие Б произошло». Условная вероятность обозначается как P(A|B).

Совместная вероятность - вероятность того, что события А и Б произойдут одновременно. Обозначается как P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило суммирования вероятностей:

Вероятность того, что случится либо событие A либо событие B -

P (A or B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Если события A и B взаимоисключающие, то

P (A or B) = P(A) + P(B)

Независимые события - события A и B независимы если

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

То есть это последовательность результатов, где значение вероятности постоянно от одного собятия к другому.
Бросок монеты - пример такого события, - результат каждого следующего броска не зависит от результата предыдущего.

Зависимые события - это такие события, когда вероятность появления одного зависит от вероятности появления другого.

Правило умножения вероятностей независимых событий:
Если события A и B независимы, то

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило полной вероятности:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S и S" - взаимоисключающие события

математическое ожидание (expected value) случайной переменной есть среднее возможных исходов случайной величины. Для события X матожидание обоначается как E(X).

Допустим у нас есть 5 значений взаимоисключающих событий c определенной вероятностью (например доход компании составил такую-то сумму с такой вероятностью). Матожиданием будет сумма всех исходов помноженных на их вероятность:

Дисперсия случайной величины - матожидание квадратных отклонений случайной величины от ее матожидания:

s 2 = E{ 2 } (6)

Условное матожидание (conditional expected value) - матожидание случайной величины X при условии того, что событие S уже произошло.

Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.

Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:

• Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
• Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
• Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.

Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.

Быстрый переход

Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты

Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:

P Б =(1/K)*100%,

где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.

Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.

Расчёт вероятности события игроком

Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:

P И =(УМ/М)*100%,

где P И – вероятность события по мнению игрока;

УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;

М – общее количество матчей.

Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.

И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.

Определение ценности ставки

Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:

V= P И *K-100%,

где V – ценность;

P И – вероятность исхода по мнению беттера;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.

Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.

• Вероя́тность - степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей либо меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

  Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события - вероятностная мера (или её значение) - мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от

  {\displaystyle 0}

  {\displaystyle 1}

  Значение

  {\displaystyle 1}

  Соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна

  {\displaystyle p}

  То вероятность его ненаступления равна

  {\displaystyle 1-p}

  В частности, вероятность

  {\displaystyle 1/2}

  Означает равную вероятность наступления и ненаступления события.

  Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений - например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

  Эмпирическое «определение» вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна стремиться к объективной степени возможности этого события. В современном изложении теории вероятностей вероятность определяется аксиоматически, как частный случай абстрактной теории меры множества. Тем не менее, связующим звеном между абстрактной мерой и вероятностью, выражающей степень возможности наступления события, является именно частота его наблюдения.

  Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.