Как объяснить ребенку проценты и научить решать задачи про проценты. Где “живут” проценты

Хотели бы Вы знать истинные причины массового непонимания детьми математики?

Не выдуманные школьными чиновниками объяснения , а действительные причины ?

Их есть у меня.

И некоторая доля юмора не повредит, так как ситуация с методами обучения в начальной школе действительно ужасная...

Прочитав эту статью Вы узнаете, где находится методологическая дыра, через которую утекают Ваши нервы, слезы Вашего ребенка и "репетиторский" бюджет. А также узнаете как заткнуть эту дыру, хотя бы частично.

Для начала ответьте, пожалуйста, на простенький вопрос в стиле ЕГЭ:

Какое из двух утверждений верное:

Вариант "И - И" также принимается. Однако оценка совместного появления двух независимых событий дает существенно меньшую величину вероятности . (Если, конечно эти события независимые , в чем я сильно сомневаюсь).

Дошкольная математика

Когда моему сыну было года три он всерьез увлекся математикой .

"А что больше десяти?", - спросил он.

"А что больше ста?"

И так мы дошли до миллиарда. Сообразив, что так можно потерять много ценного времени прогулки, сын пошел ва-банк:

"А какое число - самое большое ?"

Дабы не заморачивать ребенку мозги "Бесконечно большими величинами" я ответил: "Гугл".

Сын остался доволен, а я спросил его:

"А ты можешь сложить два гугла и три гугла?".

"Пять гуглов", - ответил сын и сам поразился: насколько огромными величинами он способен оперировать в столь нежном возрасте...

Но в начальной школе не то что гуглы - несчастные миллиарды - и те не складывают!.. Обыкновенный "счет через десяток" - и тот у многих вызывает затруднения...

Непонимание изначально вмонтировано в методы обучения начальной школы . А иначе как объяснить, что простейшим основам математики детей "обучают" в течение всей начальной школы, но так и не могут обучить!?

Возможно, как считают учителя, у детей не развито абстрактное мышление ? ...

Вспомните свое детство, как Вы хвастались друзьям, узнав, что после миллиарда идет "целый квадралион!"

Умеют ли считать животные?

Несколько лет тому я ловил карасей в деревенском пруду. Наловив достаточно, я оставил ведерко на веранде. А вернувшись, обнаружил, что вороватая кошка вытащила из ведерка своим мерзким когтем одного карася и уже успела его обглодать.

Самого большого карася.

"Удивительно!", - отметил я. "Даже у кошки есть абстрактное мышление

"Оказывается, даже животное способно отличать большее от меньшего". .

Даже щука, стоящая на эволюционной лестнице гораздо ниже вороватой кошки, способна оценить размер потенциальной добычи! На основе оценивания она решает , стоит ли бросаться из укрытия за рыбкой - с учетом вероятностного исхода охоты и соотношения величин потенциальной выгоды и энергетических затрат в случае возможной неудачи...

Но дети... Можно предположить. что где-то в педагогических анналах (извините ) есть данное: дети по развитию находятся ниже рыб...

Вы и вправду верите учителю, который намекает, что Ваш ребенок настолько тупой, что не может отличить один размер (число) от другого? Что он "не понимает математику на школьном уровне"?!

Он что - глупее кошки или рыбы?!!

А может глуп кто-то другой, не знающий, как развить способность, которой любой двух - трех летний ребенок уже обладает ?

Проведите эксперимент: положите две кучки конфет и предложите 1,5 годоваломуу ребенку выбрать большую и Вы поймете. что. возможно. я прав...

Позвольте мне пояснить, в чем тут дело.

Но прежде давайте проясним терминологию.

Новое направление в

педагогике начальной школы

Среди математиков "средней руки" есть люди с шизоидным типом личности. Но далеко не все математики такие. Просто математическое мышление отличается от обыденного: математики имеют дело с иной реальностью и с точки зрения "Обычных" людей они могут выглядеть как шизофреники.

Я заведовал лабораторией в институте прикладной математики, знаю...

Однако среди школьных учителей, с трудом решающих простые задачи и обучающих математике других,признаки шизоидного типа наблюдаются у многих.

... "Шизофрения" это термин, употребляемый психологами и психиатрами, а не ругательство. Однако мы обижаемся... Видимо, задевает за живое.

Поэтому чтобы не обзываться, давайте придумаем новый термин.

В туманных отраслях науки, таких, как экономика или педагогика, где полезный выхлоп отсутствует или отрицателен, это считается хорошим тоном и автоматически поднимает Вас на уровень эксперта. Особенно, если новая терминология введена на чужом языке.

Давайте назовем человека с расщепленным сознанием Break Thinker . (аббревиатура BT, или для массового использования "бэтмэн".

Абстрагирование и обучение абстрагированию

Однако обучение математике - это нечто другое :

учителю предстоит научить ребенка видеть общее в конкретном и иметь с этим дело как с самостоятельной "Вещью".

Разные способности, разные качества психики, разные полушария...

Как научить другого думать иным образом , если сам давно забыл, как это делается?!

Неадекватная форма обучения создает замешательство, а не понимание. А откуда в методах бэтмэнов от математики может появиться правильная форма, если различение формы и сути у них отсутствует?

Мы говорили об этом в статье "Мой ребенок не понимает математику" и в одном из комментариев к статье.

Сложные и неэффективные методы начальной школы

Если метод концептуально неверен понимание невозможно.

то... более высокое - абстрактное - восприятие (от которого они пытаются "восходить") становится просто невозможным.

Компьютер считает быстро: но ему не запрещают пользоваться ячейками, как детям - счетными палочками...

Но что же такое: правильный метод обучения?..

Мне даже как-то неудобно об этом писать, но я обещал...

Знаете, что самое сложное в обучении ребенка? Думаете, "современные" методы?

Самое сложное в обучении это научиться переводить сложные понятия на простой язык ребенка. Сложное является сложным потому, что состоит из нескольких простых понятий, не более того.

А простые понятия в абстрактной математике конкретны .

Математика для дошкольников

Что нравится Вашему ребенку?

Машинки, куклы, конфеты, деньги ?

"А Люся сидит дома,
переводит доллары на рубли"
Сплин

Что-то ему нравится обязательно. Вот и играйтесь с этим . Пусть машинки уезжают и приезжают, пусть куклы приходят в гости и приносят конфеты или печенье, пусть они покупают в "магазине" сладости.

Выдайте ребенку определенную сумму "денег" или даже денег. Пусть он сформирует "бюджет". Тогда очень скоро он сообразит, что такое "соотношение" или "проценты".

На следующем этапе, когда абстрактное станет более реальным, можно перейти к счетным палочкам.

А лучше - купите обычные счеты. Те, что лет 50 назад были в любом учебном классе начальной школы.

Счеты позволяют ребенку увидеть наглядно и ухватить концептуально, что такое "разрядность". Будет очень странно, если после этого у него возникнут трудности со "счетом через десяток" ... Скорее, у него проявится интерес считать "большие числа" в уме.

Между прочим, в Японии до сих пор и повсеместно применяется подобный нашим счетам "прибор" и проводятся национальные соревнования по счету с его использованием...

Сам Эйнштейн не побрезговал когда-то прокатиться на луче света, чтобы осмыслить относительность...

Обучая ребенка математике в начальной школе - не пренебрегайте наглядностью и Вы...

П роценты застуживают отдельного внимания, несмотря на то, что занимается ими репетитор по математике не часто. В 6 классе изучение этой темы «благополучно» заканчивается и вплоть до 11 класса не возобновляется. После такого вакуума, особенно когда когда подготовка к ЕГЭ по математике принимать пожарный характер, преподавателю бывает очень сложно собрать ученика. Масла в огонь добавляю хитрые условия задач, мешающие вести соответствующую классификацию по ЕГЭ вариантам. Поэтому все внимание репетитора математики приковывается к методике работы с маленькими учениками, о которой и поговорим.

Стоит напомнить, что проценты изучаются по разным учебникам в разное время. В Петерсоне, например, они впервые возникают аж в 4 классе, а в Виленкине только в конце пятого. Разные способности учеников диктуют репетитору по математике разные методы работы с темой, разную скорость движения по типовым задачам, а отличия в программах обязывают еще и придерживаться разной последовательности изложения. Поэтому писать о практических приемах работы репетитора непросто. Я не хотел бы в статье затрагивать все пути, по которым репетитор мог бы пойти. Все зависит от ситуации по каждому конкретному ученику. Опишу один из возможных подходов к работе с темой.

Практика показывает, что детям тяжело дается переключение на новую тему, если она не связана с каким-то прочно усвоенным навыком или зрительным образом. Репетитор по математике, как представляется мне, должен постараться максимально сгладить этот переход и так подстроиться методически, чтобы у ребенка не возникало ощущения этой новизны.

Что такое задачи на проценты? Те же самые задачи на дроби. И если ребенок с последними справляется, то почему бы репетитору не опереться на имеющуюся базу для органичного и относительно незаметного введения нового понятия.

Методика репетитора математики

Обычно я объясняю так: Для того, чтобы точнее измерить часть целого предмета его приходится разрезать на очень большое количество мелких кусочков. Поэтому в знаменателях появляются большие числа и часто там располагается 100.
Математикам надоело выводить одни и те же нули с единицей в записи таких дробей, рисовать черту и прыгать из числителя в знаменатель. Проще вести записи в строчку. Поэтому договорились не писать вообще сотню совсем, а вместо нее указывать знак %.

Что такое знак процента? Та же единичка и два нуля, только переместавленные. Например, запись 35% — ни что иное, как условное обозначение дроби . Поэтому, как только мы увидим в задаче число со знаком %, мы сразу же переведем его в привычную дробь. И всё.

При таком подходе к процентам репетитор по математике уводит их в тему «задачи на части». Можно не находить 1 процент в явном виде, а пользоваться приемами нахождения части от целого (и целого по части) через выполнения двух операций в одну строчку: делим на знаменатель и умножение на числитель (или наоборот: делим на числитель и умножаем на знаменатель). Репетитор проводи несколько занятий на отработку этого правила. Оформление в краткой записи обычно такое:

Если навык нахождения частей имеется – ребенку не составит труда какое-то время поработать с процентами без дополнительных объяснений репетитора. Краткая запись аналогичной задачи не меняется и на новом материале успешно закрепляется старый: В магазин привезли 200кг фруктов, а продали 35% всех фруктов. сколько килограммов фруктов продали.

Минимальная логическая нагрузка будет этому только содействовать. Вычислительный опыт позволит не только запомнить назначение знака % , но и «почувствовать» проценты, научиться соизмерять величины. Например, вряд ли в ответе задачи при нахождении 35% от 200г ученик напишет число большее, чем 200.

В 6 классе я рекомендую рядом с колонкой для частей добавлять колонку для процентной записи. В той же задаче это выглядело бы вот так:

Такой вид краткой записи поможет репетитору по математике представить перед учеником полную картину всех измерений величин. Это важно для сложных задач. Если какая-нибудь величина оказывается равной сумме других, то найти ее можно выполняя сложение как в процентах, так и в частях.

Единственная проблема, которая может возникнуть у репетитора математики в 5 классе , связана нахождением количества самих процентов. Например: в магазин завезли 200кг картофеля, а продали 40кг. Сколько процентов привезенного картофеля продали?

Без прямого нахождения веса 1% (или без чертежа с долями) репетитор не сможет объяснить, что = 20%, так как тему «отношения» и «сокращание дробей» проходят только в 6 классе.

В работе со слабым учеником репетитор математики иногда вынужден жертвовать отдельными частями материала и идти на компромисс между программными требованиями и возможностями конкретного ученика. В таком случае уверенное выполнение часто используемых операций более важно, чем полный охват материала. Задач на поиск самих процентов не так много. В 6 классе тема будет изучена более полно и широко – там и развернемся. А в 5 классе (если репетитор по математике занят слабым учеником) я бы советовал убрать тему из программы. Лучше иметь синицу в руках, чем журавля в небе.

Надо сказать, что описанный метод не является панацеей для преподавателя на все случаи обращений к нему, более того, он не является наилучшим и перспективным с точки зрения развития ученика. Все-таки методика с долями и частями на рисунках, схемах, с выделением 1 процента как отдельного персонажа является более предпочтительной, но требуют других временных условий и большего мастерства репетитора по математике в плане аккуратности и точности словесного описания этих рисунков.

Подбор арифметических действий в таком случае оказывается более запутанным и их туманным. Приходится рассчитывать на способность ребенка моделировать математические процессы в уме или на бумаге, выделять общие правила их измерений и применять свойства одних объектов к другим. Определенная вариативность (для некоторых учеников) идет только на пользу, ибо представляет собой весьма эффективное средство для активизации мышления. Ребенок ставится в условия, когда он вынужден думать и каждый раз вспоминить что же такое процент. Если репетитор видит неспособность вести такую деятельность – приходится использовать прием кратких записей.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике 5 класс, Москва

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Класс: 5

Продолжительность: 45 минут

Цели урока:

• Ознакомить учащихся с понятием “проценты”;
• Обозначать, читать и находить процент чисел и некоторых единиц измерения величин;
• Переводить процент в десятичную дробь и обратно;
• Учить ребят решать текстовые задачи;
• Совершенствовать вычислительные навыки
• Научить применять изученный материал в повседневной жизни.

Ожидаемые результаты:

• понимание учащимися значения понятия процента для описания реальных процессов;
• нахождение процента от числа;
• приобретение каждым учеником веры в свои силы, уверенности в своих способностях и возможности;
• развитие коммуникативных качеств личности: взаимного уважения, доброжелательности, доверия, уступчивости и в то же время инициативности, навыков делового общения, терпимости;
• развитие осознанных мотивов учения, побуждающих учащихся к активной познавательной деятельности.

Тип урока: объяснение и первичное закрепление учебного материала.

Технологии: учебная мультимедийная презентация.

Оборудование: проектор с экраном для демонстрации презентации, компьютер.

План урока:

1. Организационный момент. (2 мин)

2. Актуализация опорных знаний (5 мин)

3. Работа по теме урока (20 мин)

4. Физкультминутка (2 мин)

5. Самостоятельная работа (9 мин)

6. Заключение (5 мин)

7. Подведение итогов урока (2 мин)

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (2 мин.)

Проверка готовности к уроку. Объявление темы и цели урока.

Смена тетрадей.

(СЛАЙДЫ 1-6)

Будь внимательней дружок,
Начинаем мы урок
Посмотрите все ль в порядке:
Книжка, ручка и тетрадка.
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Только лишь оценку “5”.

2. Мотивация урока

Здравствуйте, ребята! Сегодняшний урок я хочу начать словами французского философа

Ж. Ж. Руссо (1712-1778): “Вы талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошего умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению…” (СЛАЙД 7)

Я желаю вам сегодня удачи. Вы готовы к работе?

II. Актуализация опорных знаний.

1.Устные упражнения. (СЛАЙД 8)

Чтобы узнать тему нашего урока вы должны правильно выполнить вычисления и вписать в таблицу буквы, соответствующие найденным ответам. Расположите в порядке убывания.

Итак, ребята, тема сегодняшнего урока – “Проценты”. Это универсальная величина, которая появилась из практической необходимости измерения различных величин. Она очень важная в курсе математики. В этом году мы начнём эту тему. В 6-ом классе мы к ней вернёмся при изучении пропорций.

Ребята, как вы думаете, где в повседневной жизни встречаются проценты?

Ответы учащихся:

Можно услышать, например, что, в выборах приняли участие 45% избирателей;

Успеваемость в классе 100%;

Молоко содержит 5 % жира;

Материал содержит 97% хлопка и т.д.

А также в повседневной жизни встречается очень много задач на нахождение процентного отношения чисел. Полученные знания на уроках математики вам помогут в дальнейшем при решении задач по физике, по химии. При сдаче ЕГЭ дают текстовые задачи на проценты. Поэтому наша цель, научиться решать уже сейчас, и в дальнейшем применять полученные знания.

Повторение изученного материала

Вспомните:

Правило умножения десятичной дроби на 100;

Правило деления десятичной дроби на 100;

Вопросы: (СЛАЙД 9-10)

1) Сколько килограммов в одном центнере? Какую часть центнера составляет 1 кг?

2) Сколько сантиметров в одном метре? Какую часть метра составляет 1 см?

3) Сколько ар в одном гектаре? Какую часть гектара составляет 1 а?

Учащиеся дают ответы, на экране появляются записи.

1 ц=100 кг;

1 м=100 см;

1 га = 100 а;

Записывают в тетради.

III. Работа по теме урока

1. Объяснение материала

Ребята, мы рассмотрели соотношения некоторых единиц измерения, которые связаны с одной сотой частью.

Сотая часть любой величины принято называть процентом. (СЛАЙД 11-12)

Предлагается ученикам найти определение процента в учебнике, прочитать и запомнить. В тетради записывается:

• 1 кг – 1% центнера;
• 1 см – 1 % метра;
• 1 а – 1 % га;
• 0,09 – 1 % от 9.

История возникновения процента

Слово “процент” происходит от латинских слов рro centum,что буквально означает “со ста”. Широко начали использовать проценты в Древнем Риме, но идея процентов возникла много раньше- вавилонские ростовщики уже умели находить проценты (но они считали не “со ста”, а “ с шестидесяти”, так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями). А знак % произошел, как предполагают, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом “cento”(сто) и писали его сокращенно - cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. После этой ошибки многие математики стали употреблять знак % для обозначения процентов. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Они брали с должника лихву (деньги сверх того, что брали в долг). При этом говорили: “ На каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы”. Так как слово “на сто” по латыни звучит “про центум”, то сотую часть и стали называть процентом. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В Европе проценты появились на 1000 лет позже. Их ввел бельгийский ученый Симон Стевин, который в1584 году впервые опубликовал таблицы процентов.

Первичное закрепление материала

Задание 1. (СЛАЙД 13)

Как перевести проценты в десятичную дробь?

• 2%=0.02
• 6%=0.06
• 49%=0.49
• 129%=1.29
• 3.9%=0,039
• 0.8%=0.008

Задание 2. (СЛАЙД 14)

Как записать десятичную дробь в процентах?

• 0.87=87%
• 1.46=146%
• 0,907=90.7%
• 3.456=345.6%

Учитель: Итак, что нужно делать, чтобы десятичную дробь выразить в процентах или проценты представить в виде десятичной дроби?

Выводы: (отвечают ученики)

1) Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100.

2) Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Находят эти правила в учебнике.

3. Решение примеров по учебнику

Решаем № 1561, 1562

Два ученика по очереди на доске показывают решения.

Ответы для проверки:

• №1532: 0,01; 0,06; 0,45; 1,23; 0,025; 0,004
• №1533: 87%; 7%; 145%; 3,5%; 267,2%; 90,7%

Решаем задачи (условия задач на экране)

Задача 1. (Слайд 15)

За контрольную работу по математике отметку “5” получили 12 учеников, что составляет 30 % всех учеников. Сколько учеников в классе?

Задача 2 . (Слайд 16)

Вини-Пух пошел в лес за медом. Он набрал 4.2 кг меда. По дороге домой Вини-Пух съел 30% меда. Сколько кг меда съел Вини-Пух?

Задача 3. (Слайд 17)

Из 1800 га колхозного поля 558 га засеяно ячменем. Какой процент поля засеян ячменем?

IV.Физкультминутка (СЛАЙД 18)

• Раз - подняться на носки и улыбнуться.
• Два - согнуться, разогнуться.
• Три - в ладоши три хлопка, головою три кивка.
• На четыре - руки шире.
• Пять – руками помахать.
• Шесть - за парту тихо сесть.

V. Самостоятельная работа учеников

1. Заполнить таблицу (Слайд 19)

2. Решить задачу. (Слайд 20)

Кролик посадил у себя в саду 250 луковиц тюльпанов красного цвета. Но 8% тюльпанов выросло желтыми. Сколько тюльпанов оказалось желтым?

Учащиеся обмениваются тетрадями, проверяют работы, выставляют оценки.

VI. Заключение. Рефлексия

Итак, ребята, сегодня мы с вами ознакомились с понятием процента. Выяснили, где он применяется. Научились обозначать эту величину, выражать десятичную дробь в процентах и процент представлять в виде десятичной дроби. Рассмотрели, как решаются простейшие задачи на проценты.

Самостоятельная работа показала, как вы усвоили и закрепили этот материал. На следующих уроках мы с вами будем решать более сложные задачи на проценты.

VII. Подведение итогов урока (СЛАЙД 21)

Что такое процент?

Выставляются оценки за активную работу на уроке, все получают оценку за тест.

Домашнее задание.

Выучить определение и правила.

Решить № 1598, 1599, 1612(а).

Литература.

1. Попова Л.П, Поурочные разработки по математике: 5 класс. – М.ВАКО: Учителю, 2009.

2. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2006.

3. Леонович А. А. Я познаю мир. Математика, энциклопедия для детей, М: АСТ - ЛТД, 1998.

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Данный урок посвящен задачам на проценты. Мы рассмотрим несколько задач, а также затронем те моменты, которые не упоминали ранее при изучении процентов, посчитав что на первых порах они создают трудности для обучения.

В большинстве случаев, задачи на проценты сводятся к тому, чтобы найти процент от числа, найти число по проценту, выразить в процентах какую-либо часть, либо выразить в процентном соотношении взаимосвязь между несколькими объектами, числами, величинами.

Способы нахождения процента

Процент можно находить различными способами. Самый популярный способ — разделить число на 100 и умножить полученный результат на искомое количество процентов.

Например, чтобы найти 60% от 200 рублей, нужно сначала эти 200 рублей разделить на сто равных частей:

200 руб: 100 = 2 руб.

Когда мы делим число на 100, мы тем самым находим один процент от этого числа. Так, разделив 200 рублей на 100 частей, мы автоматически нашли 1% от двухсот рублей, то есть узнали сколько рублей приходится на одну часть. Как видно из примера, на одну часть (на один процент) приходится 2 рубля.

1% от 200 рублей — 2 рубля

Зная сколько рублей приходится на одну часть (на 1%), мы можем узнать сколько рублей приходится на две части, на три, на четыре, на пять и т.д. То есть, можем найти любое количество процентов. Для этого достаточно умножить эти 2 рубля на искомое количество частей (процентов). Давайте найдём шестьдесят частей (60%)

2 × 60 = 120 руб.

2 × 5 = 10 руб.

Найдем 90%

2 × 90 = 180 руб.

Найдем 100%

2 × 100 = 200 руб.

100% это все сто частей и они составляют все 200 рублей.

Второй способ заключается в том, чтобы представить проценты в виде обыкновенной дроби и найти эту дробь от того числа, откуда требуется найти процент.

Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Сначала представим 60% в виде обыкновенной дроби. 60% это шестьдесят частей из ста, то есть шестьдесят сотых:

Теперь задание можно понимать как «найти от 200 рублей» . Это , которое мы изучали ранее. Напомним, что для нахождения дроби от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель дроби

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

Либо умножить число на дробь ():

Третий способ заключается в том, чтобы процент представить в виде десятичной дроби и умножить число на эту десятичную дробь.

Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Для начала представляем 60% в виде дроби. 60% процентов это шестьдесят частей из ста

Выполним деление в этой дроби. Перенесем запятую в числе 60 на две цифры влево:

Теперь находим 0,60 от 200 рублей. Для нахождения десятичной дроби от числа, нужно это число умножить на десятичную дробь:

200 × 0,60 = 120 руб.

Приведенный способ нахождения процента является наиболее удобным, особенно если человек привык пользоваться калькулятором. Этот способ позволяет найти процент в одно действие.

Как правило выразить процент в десятичной дроби не составляет особого труда. Достаточно приписать «ноль целых» перед процентной долей, если процентная доля представляет собой двузначное число, или приписать «ноль целых» и еще один ноль, если процентная доля представляет собой однозначное число. Примеры:

60% = 0,60 — приписали ноль целых перед число 60, поскольку число 60 является двузначным

6% = 0,06 — приписали ноль целых и еще один ноль перед числом 6, поскольку число 6 является однозначным.

При делении на 100 мы воспользовались методом передвижения запятой на две цифры влево. В ответе 0,60 ноль, стоящий после цифры 6 сохранился. Но если выполнить это деление уголком, ноль исчезает — получается ответ 0,6

Надо помнить, что десятичные дроби 0,60 и 0,6 равны и несут одно и тоже значение

0,60 = 0,6

В том же «уголке» можно продолжать деление бесконечно, каждый раз приписывая к остатку ноль, но это будет бессмысленным действием

Выражать проценты в виде десятичной дроби можно не только делением на 100, но и умножением. Значок процента (%) сам по себе заменяет собой множитель 0,01. А если учитывать, что число процентов и значок процента записаны слитно, то между ними располагается «невидимый» знак умножения (×).

Так, к примеру 45% на самом деле выглядят следующим образом

Заменим знак процента на множитель 0,01

Данное умножение на 0,01 выполнятся путем перемещения запятой на две цифры влево

Задача 1 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой. Какую часть заработала мама?

Решение

Всего процентов 100. Если папа заработал 70% денег, то остальные 30% денег заработала мама.

Задача 2 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой, а 30% — деньги, заработанные мамой. Сколько денег заработал каждый?

Решение

Найдем 70 и 30 процентов от 75 тыс. рублей. Так мы определим сколько денег заработал каждый. Для удобства 70% и 30% запишем в виде десятичных дробей

75 × 0,70 = 52,5 (тыс. руб. заработал папа)

75 × 0,30 = 22,5 (тыс. руб. заработала мама)

Проверка

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Ответ : 52,5 тыс. руб. заработал папа, 22,5 руб. заработала мама.

Задача 3 . При остывании хлеб теряет до 4% своей массы в результате испарения воды. Сколько килограммов испарится при остывании 12 тонн хлеба.

Решение

Переведем 12 тонн в килограммы. В одной тонне тысяча килограмм, в 12 тоннах в 12 раз больше

1000 × 12 = 12 000 кг

Теперь найдем 4% от 12000. Полученный результат и будет ответом к задаче:

12 000 × 0,04 = 480 кг

Ответ : при остывании 12 тонн хлеба испарится 480 килограмм.

Задача 4 . Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько получится сушенных яблок из 300 кг свежих?

Найдем 84% от 300 кг

300: 100 × 84 = 252 кг

300 кг свежих яблок в результате сушки потеряют 252 кг своей массы. Чтобы ответить на вопрос сколько получится сушенных яблок, нужно из 300 вычесть 252

300 − 252 = 48 кг

Ответ : из 300 кг свежих яблок получится 48 кг сушенных.

Задача 5 . В семенах сои содержится 20% масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?

Решение

Найдем 20% от 700 кг

700 × 0,20 = 140 кг

Ответ : из 700 кг сои содержится 140 кг масла

Задача 6 . Гречневая крупа содержит 10% белков, 2,5% жиров и 60% углеводов. Сколько этих продуктов содержится в 14,4 ц гречневой крупы?

Решение

Переведем 14,4 центнера в килограммы. В одном центнере 100 килограмм, в 14,4 центнерах в 14,4 раз больше

100 × 14,4 = 1440 кг

Найдем 10%, 2,5% и 60% от 1440 кг

1440 × 0,10 = 144 (кг белков)

1440 × 0,025 = 36 (кг жиров)

1440 × 0,60 = 864 (кг углеводов)

Ответ : в 14,4 ц гречневой крупы содержится 144 кг белков, 36 кг жиров, 864 кг углеводов.

Задача 7 . Для лесопитомника школьники собрали 60 кг семян дуба, акации, липы и клена. Желуди составляли 60%, семена клена 15%, семена липы 20% всех семян, а остальное составляли семена акации. Сколько килограммов семян акации было собрано школьниками?

Решение

Примем за 100% семена дуба, акации, липы и клена. Вычтем из этих 100% проценты, выражающие семена дуба, липы и клена. Так мы узнаем сколько процентов составляют семена акации:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Теперь находим семена акации:

60 × 0,05 = 3 кг

Ответ : школьниками было собрано 3 кг семян акации.

Проверка :

60 × 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 × 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

Задача 8 . Купил человек продукты. Молоко стоит 60 рублей, что составляет 48% от стоимости всех покупок. Определить общую сумму денег, потраченных на продукты.

Решение

Это задача на нахождение числа по его проценту, то есть по его известной части. Такую задачу можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы выразить известное число процентов в виде десятичной дроби и найти неизвестное число по этой дроби

Выразим 48% в виде десятичной дроби

48% : 100 = 0,48

Зная, что 0,48 составляет 60 рублей, мы можем определить сумму всех покупок. Для этого нужно найти неизвестное число по десятичной дроби:

60: 0,48 = 125 рублей

Значит общая сумма денег, затраченных на продукты составляет 125 рублей.

Второй способ заключается в том, чтобы сначала узнать сколько денег приходится на один процент, затем полученный результат умножить на 100

48% это 60 рублей. Если мы разделим 60 рублей на 48, то узнаем сколько рублей приходится на 1%

60: 48% = 1,25 рублей

На 1% приходится 1,25 рублей. Всего процентов 100. Если мы умножим 1,25 рублей на 100, получим общую сумму денег, затраченных на продукты

1,25 × 100 = 125 рублей

Задача 9 . Из свежих слив выходит 35% сушенных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 140 кг сушенных? Сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих?

Решение

Выразим 35% в виде десятичной дроби и найдем неизвестное число по этой дроби:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400 кг

Чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих.

Ответим на второй вопрос задачи — сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих? Если из свежих слив выходит 35% сушенных, то достаточно найти эти 35% от 600 кг свежих слив

600 × 0,35 = 210 кг

Ответ : чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих. Из 600 кг свежих слив получится 210 кг сушенных.

Задача 10 . Усвоение жиров организмом человека составляет 95%. За месяц ученик употребил 1,2 кг жиров. Сколько жиров может быть усвоено его организмом?

Решение

Переведем 1,2 кг в граммы

1,2 × 1000 = 1200 г

Найдем 95% от 1200 г

1200 × 0,95 = 1140 г

Ответ : 1140 г жиров может быть усвоено организмом ученика.

Выражение чисел в процентах

Процент, как было сказано ранее, можно представить в виде десятичной дроби. Для этого достаточно разделить число этих процентов на 100. Например, представим 12% в виде десятичной дроби:

Замечание. Мы сейчас не находим процент от чего-то, а просто записываем его в виде десятичной дроби .

Но возможен и обратный процесс. Десятичная дробь может быть представлена в виде процента. Для этого нужно умножить эту дробь на 100 и поставить знак процента (%)

Представим десятичную дробь 0,12 в виде процентов

0,12 × 100 = 12%

Это действие называют выражением числа в процентах или выражением чисел в сотых долях .

Умножение и деление являются обратными операциями. К примеру, если 2 × 5 = 10, то 10: 5 = 2

Точно так же деление можно записать в обратном порядке. Если 10: 5 = 2, то 2 × 5 = 10:

Тоже самое происходит, когда мы выражаем десятичную дробь в виде процентов. Так, 12% были выражены в виде десятичной дроби следующим образом: 12: 100 = 0,12 но потом эти же 12% были «возвращены» с помощью умножения, записав выражение 0,12 × 100 = 12%.

Аналогично можно выразить в процентах любые другие числа, в том числе и целые. Например, выразим в процентах число 3. Умножим данное число на 100 и к полученному результату добавим знак процента:

3 × 100 = 300%

Большие проценты вида 300% поначалу могут сбивать с толку, поскольку человек привык считать 100% максимальной долей. Из дополнительных сведений о дробях мы знаем, что один целый объект можно обозначать через единицу. К примеру, если имеется целый не разрезанный торт, то его можно обозначить через 1

Этот же торт можно обозначить как 100% торта. В этом случае и единица и 100% будут обозначать один и тот же целый торт:

Разрежем торт пополам. В этом случае единица обратится в десятичное число 0,5 (поскольку это половина единицы), а 100% обратятся в 50% (поскольку 50 это половина от сотни)

Вернем обратно целый торт, единицу и 100%

Изобразим ещё два таких торта с такими же обозначениями:

Если один торт является единицей, то три торта являются тремя единицами. Каждый торт является целым стопроцентным. Если сложить эти три сотни получится 300%.

Поэтому при переводе целых чисел в проценты, мы умножаем эти числа на 100.

Задача 2 . Выразить в процентах число 5

5 × 100 = 500%

Задача 3 . Выразить в процентах число 7

7 × 100 = 700%

Задача 4 . Выразить в процентах число 7,5

7,5 × 100 = 750%

Задача 5 . Выразить в процентах число 0,5

0,5 × 100 = 50%

Задача 6 . Выразить в процентах число 0,9

0,9 × 100 = 90%

Пример 7 . Выразить в процентах число 1,5

1,5 × 100 = 150%

Пример 8 . Выразить в процентах число 2,8

2,8 × 100 = 280%

Задача 9 . Джордж идет со школы домой. Первые пятнадцать минут он прошел 0,75 пути. В остальное время он прошел оставшиеся 0,25 пути. Выразите в процентах части пути, пройденные Джорджом.

Решение

0,75 × 100 = 75%

0,25 × 100 = 25%

Задача 10 . Джона угостили половиной яблока. Выразите эту половину в процентах.

Решение

Половина яблока записывается в виде дроби 0,5. Чтобы выразить эту дробь в процентах, умножим её на 100 и к полученному результату добавим знак процента

0,5 × 100 = 50%

Аналоги в виде дробей

Величина, выраженная в процентах, имеет свой аналог в виде обычной дроби. Так, аналогом для 50% является дробь . Пятьдесят процентов также можно назвать словом «половина».

Аналогом для 25% является дробь . Двадцать пять процентов также можно назвать словом «четверть».

Аналогом для 20% является дробь . Двадцать процентов также можно назвать словами «пятая часть».

Аналогом для 40% является дробь .

Аналогом для 60% является дробь

Пример 1 . Пять сантиметров это 50% от дециметра или или же просто половина. Во всех случаях речь идет об одной и той же величине — пяти сантиметрах из десяти

Пример 2 . Два с половиной сантиметра это 25% от дециметра или или же просто четверть

Пример 3 . Два сантиметра это 20% от дециметра или

Пример 4 . Четыре сантиметра это 40% от дециметра или

Пример 5 . Шесть сантиметров это 60% от дециметра или

Уменьшение и увеличение процентов

При увеличении или уменьшении величины, выраженной в процентах употребляется предлог «на».

Примеры :

• Увеличить на 50% — означает увеличить величину в 1,5 раза;
• Увеличить на 100% — означает увеличить величину в 2 раза;
• Увеличить на 200% — означает увеличить в 3 раза;
• Уменьшить на 50% — означает уменьшить величину в 2 раза;
• Уменьшить на 80% — означает уменьшить в 5 раз.

Пример 1 . Десять сантиметров увеличили на 50%. Сколько сантиметров получилось?

Чтобы решать подобные задачи, нужно исходную величину принимать за 100%. Исходная величина это 10 см. 50% от них составляют 5 см

Изначальные 10 см увеличили на 50% (на 5 см), значит получилось 10+5 см, то есть 15 см

Аналогом же увеличения десяти сантиметров на 50% является множитель 1,5. Если умножить на него 10 см получится 15 см

10 × 1,5 = 15 см

Поэтому выражения «увеличить на 50%» и «увеличить в 1,5 раза» говорят об одном и том же.

Пример 2 . Пять сантиметров увеличили на 100%. Сколько сантиметров получилось?

Примем исходные пять сантиметров за 100%. Сто процентов от этих пяти сантиметров будут сами 5 см. Если увеличить 5 см на эти же 5 см, то получится 10 см

Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 100% является множитель 2. Если умножить на него 5 см получится 10 см

5 × 2 = 10 см

Поэтому выражения «увеличить на 100%» и «увеличить в 2 раза» говорят об одном и том же.

Пример 3 . Пять сантиметров увеличили на 200%. Сколько сантиметров получилось?

Примем исходные пять сантиметров за 100%. Двести процентов это два раза по сто процентов. То есть, 200% от 5 см будут составлять 10 см (по 5 см на каждые 100%). Если увеличить 5 см на эти 10 см, то получится 15 см

Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 200% является множитель 3. Если умножить на него 5 см получится 15 см

5 × 3 = 15 см

Поэтому выражения «увеличить на 200%» и «увеличить в 3 раза» говорят об одном и том же.

Пример 4 . Десять сантиметров уменьшили на 50%. Сколько сантиметров осталось?

Примем исходные 10 см за 100%. Пятьдесят процентов от 10 см составляют 5 см. Если уменьшить 10 см на эти 5 см, останется 5 см

Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 50% является делитель 2. Если разделить на него 10 см, то получится 5 см

10: 2 = 5 см

Поэтому выражения «уменьшить на 50%» и «уменьшить в 2 раза» говорят об одном и том же.

Пример 5 . Десять сантиметров уменьшили на 80%. Сколько сантиметров осталось?

Примем исходные 10 см за 100%. Восемьдесят процентов от 10 см составляют 8 см. Если уменьшить 10 см на эти 8 см, останется 2 см

Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 80% является делитель 5. Если разделить на него 10 см, то получится 2 см

10: 5 = 2 см

Поэтому выражения «уменьшить на 80%» и «уменьшить в 5 раз» говорят об одном и том же.

При решении задач на уменьшение и увеличение процентов, можно умножать/делить величину на указанный в задаче множитель.

Задача 1 . Насколько процентов изменилась величина, если она увеличилась в 1,5 раза?

Величину о которой говорится в задаче можно обозначить как 100%. Далее умножить эти 100% на множитель 1,5

100% × 1,5 = 150%

Теперь из полученных 150% вычтем изначальные 100% и получим ответ к задаче:

150% − 100% = 50%

Задача 2 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 4 раза?

В этот раз будет происходить уменьшение величины, поэтому будем выполнять деление. Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 4

Из изначальных 100% вычтем полученные 25% и получим ответ к задаче:

100% − 25% = 75%

Значит при уменьшении величины в 4 раза она уменьшилась на 75%.

Задача 3 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 5 раз?

Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 5

Из изначальных 100% вычтем полученные 20% и получим ответ к задаче:

100% − 20% = 80%

Значит при уменьшении величины в 5 раз она уменьшилась на 80%.

Задача 4 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 10 раз?

Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 10

Из изначальных 100% вычтем полученные 10% и получим ответ к задаче:

100% − 10% = 90%

Значит при уменьшении величины в 10 раз она уменьшилась на 90%.

Задача на нахождение процентного соотношения

Чтобы выразить что-либо в процентном соотношении, сначала нужно записать дробь, показывающую какую часть первое число составляет от второго, затем выполнить деление в этой дроби и полученный результат выразить в процентах.

Например, пусть имеется пять яблок. При этом два яблока являются красными, три — зелеными. Выразим красные и зеленые яблоки в процентном соотношении.

Сначала нужно узнать какую часть составляют красные яблоки. Всего яблок пять, а красных два. Значит два из пяти или две пятых составляют красные яблоки:

Зеленых же яблок три. Значит три из пяти или три пятых составляют зеленые яблоки:

Имеем две дроби и . Выполним деление в этих дробях

Получили десятичные дроби 0,4 и 0,6. Теперь выразим в процентах эти десятичные дроби:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Значит 40% составляют красные яблоки, 60% — зеленые.

А все пять яблок составляют 40%+60%, то есть 100%

Задача 2 . Двум сыновьям мама дала 200 рублей. Младшему брату мама дала 80 рублей, а старшему 120 рублей. Выразите в процентном соотношении деньги, данные каждому брату.

Решение

Младший брат получил 80 рублей из 200 рублей. Записываем дробь восемьдесят двухсотых:

Старший брат получил 120 рублей из 200 рублей. Записываем дробь сто двадцать двухсотых:

Имеем дроби и . Выполним деление в этих дробях

Выразим в процентах полученные результаты:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Значит 40% денег получил младший брат, а 60% — старший.

Некоторые дроби, показывающие какую часть первое число составляет от второго, можно сокращать.

Так дроби и можно было бы сократить. От этого ответ к задаче не изменился бы:

Задача 3 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 52,5 тыс. руб. — деньги, заработанные папой. 22,5 тыс. руб. — деньги, заработанные мамой. Выразите в процентах деньги, заработанные папой и мамой.

Решение

Данная задача, как и предыдущая, является задачей на нахождение процентного соотношения.

Выразим в процентах деньги, заработанные папой. Он заработал 52,5 тыс. рублей из 75 тыс. рублей

Выполним деление в этой дроби:

0,7 × 100 = 70%

Значит папа заработал 70% денег. Далее нетрудно догадаться, что остальные 30% денег заработала мама. Ведь 75 тыс. рублей это все 100% денег. Для уверенности сделаем проверку. Мама заработала 22,5 тыс. руб. из 75 тыс. руб. Записываем дробь, выполняем деление и выражаем в процентах полученный результат:

Задача 4 . Школьник тренируется делать подтягивания на перекладине. В прошлом месяце он мог делать 8 подтягиваний за подход. В этом месяце он может делать 10 подтягиваний за подход. На сколько процентов он увеличил количество подтягиваний?

Решение

Узнаем на сколько больше подтягиваний школьник делает в текущем месяце, чем в прошлом

Узнаем какую часть два подтягивания составляют от восьми подтягиваний. Для этого найдем отношение 2 к 8

Выполним деление в этой дроби

Выразим полученный результат в процентах:

0,25 × 100 = 25%

Значит школьник увеличил количество подтягиваний на 25%.

Эту задачу можно решить и вторым, более быстрым методом — узнать во сколько раз 10 подтягиваний больше, чем 8 подтягиваний и полученный результат выразить в процентах.

Чтобы узнать во сколько раз десять подтягиваний больше восьми подтягиваний, нужно найти отношение 10 к 8

Выполним деление в получившейся дроби

Выразим полученный результат в процентах:

1,25 × 100 = 125%

Показатель подтягиваний в текущем месяце составляет 125%. Данное высказывание нужно понимать именно как «составляет 125%» , а не как «показатель увеличился на 125%» . Это два разных высказывания, выражающих различные количества.

Высказывание «составляет 125%» нужно понимать как «восемь подтягиваний, которые составляют 100% плюс два подтягивания, которые составляют 25% от восьми подтягиваний». Графически это выглядит следующим образом:

А высказывание «увеличился на 125%» нужно понимать как «к текущим восьми подтягиваниях, которые составляли 100% добавились еще 100% (еще 8 подтягиваний) плюс еще 25% (2 подтягивания)». Итого получается 18 подтягиваний

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 подтягиваний

Графически это высказывание выглядит следующим образом:

Всего же получается 225%. Если найти 225% от восьми подтягиваний, мы получим 18 подтягиваний

8 × 2,25 = 18

Задача 5 . В прошлом месяце зарплата составляла 19,2 тыс. руб. В текущем месяце она составила 20,16 тыс. руб. На сколько процентов повысилась зарплата?

Эту задачу как и предыдущую можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы сначала узнать на сколько рублей увеличилась зарплата. Далее узнать какую часть эта прибавка составляет от зарплаты прошлого месяца

Узнаем на сколько рублей повысилась зарплата:

20,16 − 19,2 = 0,96 тыс. руб.

Узнаем какую часть 0,96 тыс. руб. составляет от 19,2. Для этого найдем отношение 0,96 к 19,2

Выполним деление в получившейся дроби. По пути вспомним, :

Выразим полученный результат в процентах:

0,05 × 100 = 5%

Значит зарплата повысилась на 5%.

Решим задачу вторым способом. Узнаем во сколько раз 20,16 тыс. руб. больше, чем 19,2 тыс. руб. Для этого найдем отношение 20,16 к 19,2

Выполним деление в получившейся дроби:

Выразим полученный результат в процентах:

1,05 × 100 = 105%

Зарплата составляет 105%. То есть, сюда входят 100%, которые составляли 19,2 тыс. руб., плюс 5% которые составляют 0,96 тыс. руб.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

Задача 6 . Цена ноутбука в этом месяце повысилась на 5%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 18,3 тыс. рублей?

Решение

Найдем 5% от 18,3:

18,3 × 0,05 = 0,915

Прибавим эти 5% к 18,3:

18,3 + 0,915 = 19,215 тыс. руб.

Ответ : цена ноутбука составляет 19,215 тыс. руб.

Задача 7 . Цена ноутбука в этом месяце снизилась на 10%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 16,3 тыс. рублей?

Решение

Найдем 10% от 16,3:

16,3 × 0,10 = 1,63

Вычтем эти 10% из 16,3:

16,3 − 1,63 = 14, 67 (тыс. рублей)

Подобные задачи можно записывать кратко:

16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (тыс. рублей)

Ответ : цена ноутбука составляет 14,67 тыс. рублей.

Задача 8 . В прошлом месяце цена ноутбука составляла 21 тыс. рублей. В этом месяце цена повысилась до 22,05 тыс. рублей. На сколько процентов повысилась цена?

Решение

Определим насколько рублей повысилась цена

22,05 − 21 = 1,50 (тыс. руб)

Узнаем какую часть 1,05 тыс. руб. составляет от 21 тыс. руб.

Выразим полученный результат в процентах

0,05 × 100 = 5%

Ответ : цена ноутбука повысилась на 5%

Задача 8 . Рабочий должен был изготовить по плану 600 деталей, а он изготовил 900 деталей. На сколько процентов он выполнил план?

Решение

Узнаем во сколько раз 900 деталей больше, чем 600 деталей. Для этого найдем отношение 900 к 600

Значение данной дроби равно 1,5. Выразим это значение в процентах:

1,5 × 100 = 150%

Значит рабочий выполнил план на 150%. То есть, выполнил его на все 100%, изготовив 600 деталей. Затем изготовил еще 300 деталей, что составляет 50% от изначального плана.

Ответ : рабочий выполнил план на 150%.

Сравнение величин в процентах

Мы уже много раз сравнивали величины различными способами. Первым нашим инструментом была разность. Так, к примеру чтобы сравнить 5 рублей и 3 рубля, мы записывали разность 5−3. Получив ответ 2, можно было сказать, что «пять рублей больше трех рублей на два рубля».

Получаемый в результате вычитания ответ в повседневной жизни называют не «разностью», а «разницей».

Так, разница между пятью и тремя рубля составляет два рубля.

Следующим инструментом, которым мы воспользовались для сравнения величин, было отношение. Отношение позволяло нам узнать во сколько раз первое число больше второго (или сколько раз первое число содержит второе).

Так, к примеру десять яблок больше двух яблок в пять раз. Или по другому, десять яблок содержит два яблока пять раз. Данное сравнение можно записать с помощью отношения

Но величины можно сравнить и в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах.

Для сравнения величин в процентах, одну из них нужно обозначить как 100%, а вторую исходя из условий задачи.

Например, узнаем на сколько процентов десять яблок больше, чем восемь яблок.

За 100% нужно обозначить ту величину с которой мы что-либо сравниваем. Мы сравниваем 10 яблок с 8 яблоками. Значит за 100% обозначаем 8 яблок:

Теперь наша задача сравнить на сколько процентов 10 яблок больше, чем эти 8 яблок. 10 яблок это 8+2 яблока. Значит добавив к восьми яблокам еще два яблока, мы увеличим 100% еще на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от восьми яблок составляют два яблока

Добавив эти 25% к восьми яблокам, мы получим 10 яблок. А 10 яблок это 8+2, то есть 100% и еще 25%. Итого получаем 125%

Значит десять яблок больше восьми яблок на 25%.

Теперь решим обратную задачу. Узнаем насколько процентов восемь яблок меньше, чем десять яблок. Сразу напрашивается ответ, что восемь яблок меньше на 25%. Однако это не так.

Мы сравниваем восемь яблок с десятью яблоками. Мы договорились, что за 100% будем брать то, с чем сравниваем. Поэтому в этот раз за 100% берем 10 яблок:

Восемь яблок это 10−2, то есть уменьшив 10 яблок на 2 яблока, мы уменьшим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от десяти яблок составляют два яблока

Отняв эти 20% от десяти яблок, мы получим 8 яблок. А 8 яблок это 10−2, то есть 100% и минус 20%. Итого получаем 80%

Значит восемь яблок меньше десяти яблок на 20%.

Задача 2 . На сколько процентов 5000 рублей больше, чем 4000 рублей?

Решение

Примем 4000 рублей за 100%. 5 тысяч больше 4 тысяч на 1 тысячу. Значит увеличив четыре тысячи на одну тысячу, мы увеличим четыре тысячи на какое-то количество процентов. Узнаем на какое именно. Для этого определим какую часть одна тысяча составляет от четырех тысяч:

Выразим полученный результат в процентах:

0,25 × 100 = 25%

1000 рублей от 4000 рублей составляют 25%. Если прибавить эти 25% к 4000, то получится 5000 рублей. Значит 5000 рублей на 25% больше, чем 4000 рублей

Задача 3 . На сколько процентов 4000 рублей меньше, чем 5000 рублей?

В этот раз сравниваем 4000 с 5000. Примем 5000 за 100%. Пять тысяч больше четырех тысяч на одну тысячу рублей. Узнаем какую часть одна тысяча составляет от пяти тысяч

Тысяча от пяти тысяч составляет 20%. Если вычесть эти 20% от 5000 рублей, то получим 4000 рублей.

Значит 4000 рублей меньше 5000 рублей на 20%

Задачи на концентрацию, сплавы и смеси

Допустим, возникло желание приготовить какой-нибудь сок. У нас в распоряжении имеется вода и малиновый сироп

Нальем 200 мл воды в стакан:

Добавим 50 мл малинового сиропа и размешаем полученную жидкость. В результате у нас получится 250 мл малинового сока (200 мл воды + 50 мл сиропа = 250 мл сока)

Какую часть от получившегося сока составляет малиновый сироп?

Малиновый сироп составляет сока. Вычислим это отношение, получим число 0,20 . Это число показывает количество растворённого сиропа в получившемся соке. Назовём это число концентрацией сиропа .

Концентрацией растворённого вещества называют отношение количества растворённого вещества или его массы к объему раствора.

Концентрация обычно выражается в процентах. Давайте выразим концентрацию сиропа в процентах:

0,20 × 100 = 20%

Таким образом, концентрация сиропа в малиновом соке составляет 20%.

Вещества в растворе могут быть неоднородными. Например, смешаем 3 л воды и 200 г соли.

Масса 1 л воды составляет 1 кг. Тогда масса 3 л воды будет составлять 3 кг. Переведем 3 кг в граммы, получим 3 кг = 3000 г.

Теперь в 3000 г воды опустим 200 г соли и смешаем полученную жидкость. В результате получится соленный раствор, общая масса которого будет составлять 3000+200, то есть 3200 г. Найдем концентрацию соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение массы растворенной соли к массе раствора

Значит при смешивании 3 л воды и 200 г соли получится 6,25%-й раствор соли.

Аналогично может быть определено количество вещества в сплаве или в смеси. Например, сплав содержит олово массой 210 г, и серебро массой 90 г. Тогда масса сплава будет составлять 210+90, то есть 300 г. Олова в сплаве будет содержаться , а серебра . В процентном соотношении олова будет 70% , а серебра 30%

При смешивании двух растворов получается новый раствор, состоящий из первого и второго растворов. У нового раствора концентрация вещества может быть другой. Полезным навыком является умение решать задачи на концентрацию, сплавы и смеси. В общем итоге смысл таких задач заключается в отслеживании изменений, которые происходят при смешивании растворов различной концентрации.

Смешаем два малиновых сока. Первый сок объемом 250 мл содержит 12,8% малинового сиропа. А второй сок объемом 300 мл содержит 15% малинового сиропа. Сольем эти два сока в большой стакан и смешаем. В результате получим новый сок объемом 550 мл.

Теперь определим концентрацию сиропа в полученном соке. Первый слитый сок объемом 250 мл содержал 12,8% сиропа. А 12,8% от 250 мл это 32 мл. Значит первый сок содержал 32 мл сиропа.

Второй слитый сок объемом 300 мл содержал 15% сиропа. А 15% от 300 мл это 45 мл. Значит второй сок содержал 45 мл сиропа.

Сложим количества сиропов:

32 мл + 45 мл = 77 мл

Эти 77 мл сиропа содержатся в новом соке, объем которого составляет 550 мл. Определим концентрацию сиропа в этом соке. Для этого найдём отношение 77 мл растворённого сиропа к объему сока 550 мл:

Значит при смешивании 12,8%-го малинового сока объемом 250 мл и 15%‍-го малинового сока объемом 300 мл, получается 14%-й малиновый сок объемом 550 мл.

Задача 1 . Имеются 3 раствора морской соли в воде: первый раствор содержит 10% соли, второй содержит 15% соли и третий — 20% соли. Смешали 130 мл первого раствора, 200 мл второго раствора и 170 мл третьего раствора. Определите сколько процентов составляет морская соль в полученном растворе.

Решение

Определим объем полученного раствора:

130 мл + 200 мл + 170 мл = 500 мл

Поскольку в первом растворе было 130 × 0,10 = 13 мл морской соли, во втором растворе 200 × 0,15 = 30 мл морской соли, а в третьем — 170 × 0,20 = 34 мл морской соли, то в полученном растворе будет содержаться 13 + 30 + 34 = 77 мл морской соли.

Определим концентрацию морской соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение 77 мл морской соли к объему раствора 500 мл

Значит в полученном растворе содержится 15,4% морской соли.

Задача 2 . Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5%-й раствор?

Решение

Заметим, что если к имеющемуся раствору добавить воды, то количество соли в нём не изменится. Изменится только её процентное содержание, поскольку добавление воды в раствор приведёт к изменению его массы.

Нам нужно добавить такое количество воды при котором восемь процентов соли стали бы пятью процентами.

Определим сколько граммов соли содержится в 50 г раствора. Для этого найдем 8% от 50

50 г × 0,08 = 4 г

8% от 50 г составляют 4 г. Другими словами, на восемь частей из ста приходятся 4 грамма соли. Давайте сделаем так, чтобы эти 4 грамма приходились не на восемь частей, а на пять частей, то есть на 5%

4 грамма — 5%

Теперь зная, что на 5% раствора приходятся 4 грамма, мы можем найти массу всего раствора. Для этого нужно :

4 г: 5 = 0,8 г
0,8 г × 100 = 80 г

80 граммов раствора это масса при которой 4 грамма соли будут приходиться на 5% раствора. А для получения этих 80 граммов, нужно к изначальным 50 граммам добавить 30 граммов воды.

Значит для получения 5%-го раствора соли, нужно к имеющемуся раствору добавить 30 г воды.

Задача 2 . Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?

Решение

Виноград состоит из влаги и чистого вещества. Если в свежем винограде содержится 91% влаги, то на остальные 9% будет приходиться чистое вещество этого винограда:

Изюм же содержит 93% чистого вещества и 7% влаги:

Заметим, что в процессе превращения винограда в изюм, исчезает только влага этого винограда. Чистое вещество остаётся без изменения. После того, как виноград превратится в изюм, в получившемся изюме будет 7% влаги и 93% чистого вещества.

Определим сколько чистого вещества содержится в 21 кг изюма. Для этого найдем 93% от 21 кг

21 кг × 0,93 = 19,53 кг

Теперь вернемся к первому рисунку. Наша задача состояла в том, чтобы определить сколько винограда нужно взять для получения 21 кг изюма. Чистое вещество массой 19,53 кг будет приходиться на 9% винограда:

Теперь зная, что 9% чистого вещества составляют 19,53 кг, мы можем определить сколько винограда требуется для получения 21 кг изюма. Для этого нужно найти число по его проценту:

19,53 кг: 9 = 2,17 кг
2,17 кг × 100 = 217 кг

Значит для получения 21 кг изюма нужно взять 217 кг винограда.

Задача 3 . В сплаве олова и меди медь составляет 85%. Сколько надо взять сплава, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова?

Решение

Если в сплаве медь составляет 85%, то на остальные 15% будет приходиться олово:

Спрашивается сколько надо взять сплава, чтобы в нем содержалось 4,5 олова. Поскольку олова в сплаве содержится 15%, то 4,5 кг олова и будут приходиться на эти 15%.

А зная, что 4,5 кг сплава составляют 15% мы можем определить массу всего сплава. Для этого нужно найти число по его проценту:

4,5 кг: 15 = 0,3 кг
0,3 кг × 100 = 30 кг

Значит сплава нужно взять 30 кг, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова.

Задача 4 . Смешали некоторое количество 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

Решение

Изобразим на рисунке первый раствор в виде прямой линии и выделим на нём 12%

Поскольку количество растворов одинаково, рядом можно изобразить такой же рисунок, иллюстрирующий второй раствор с содержанием соляной кислоты 20%

У нас получилось двести частей раствора (100% + 100%) , тридцать две части из которых составляют соляную кислоту (12% + 20%)

Определим какую часть 32 части составляют от 200 частей

Значит при смешивании 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты получится 16%-й раствор соляной кислоты.

Для проверки представим, что масса первого раствора была 2 кг. Масса второго раствора так же будет составлять 2 кг. Тогда при смешивании этих растворов получится 4 кг раствора. В первом растворе соляной кислоты было 2 × 0,12 = 0,24 кг, а во втором — 2 × 0,20 = 0,40 кг . Тогда в новом растворе соляной кислоты будет 0,24 + 0,40 = 0,64 кг . Концентрация соляной кислоты составит 16%

Задачи для самостоятельного решения

Теперь увеличим число на найденные 60%, т.е. на число

Ответ: новое значение равно

Задача 12. Ответьте на следующие вопросы:

1) Потратили 80 % суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?
2) Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?
3) Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?

А Решение

Воспользуемся переменной. Пусть P это исходное число о котором говорится в задаче. Примем это исходное число P за 100%

Уменьшим это исходное число P на 50%

Теперь новое число составляет 50% от исходного числа. Узнаем во сколько раз исходное число P больше нового числа. Для этого найдем отношение 100% к 50%

Исходное число в два раза больше нового. Это видно даже по рисунку. А чтобы сделать новое число равным исходному, его нужно увеличить в два раза. А увеличить число в два раза означает увеличить его на 100%.

Значит новое число, которое составляет половину от исходного числа, нужно увеличить на 100%.

Рассматривая новое число, его также принимают за 100%. Так, на приведенном рисунке новое число является половиной от исходного числа и подписано как 50%. По отношению к исходному числу новое число является половиной. Но если рассматривать его отдельно от исходного, его нужно принимать за 100%.

Поэтому на рисунке, новое число которое изображается линией, сначала было обозначено как 50%. Но затем это число мы обозначили как 100%.

Ответ: чтобы получить исходное число, новое число надо увеличить на 100%.

Задача 16. В прошлом месяце в городе произошло 15 ДТП.
В этом месяце этот показатель снизился до 6. На сколько процентов снизилось количество ДТП?

Решение

В прошлом месяце было 15 ДТП. В этом месяце 6. Значит количество ДТП снизилось на 9.
Примем 15 ДТП за 100%. Снизив 15 ДТП на 9, мы снизим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, узнаем какую часть 9 ДТП составляет от 15 ДТП

Ответ: концентрация получившегося раствора составляет 12%.

Задача 18. Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

Решение

Масса обоих растворов одинакова. Каждый раствор можно принять за 100%. После сложения растворов получится 200% раствора. В первом растворе было 11% вещества, а во втором 19% вещества. Тогда в получившемся 200%-м растворе будет 11% + 19% = 30% вещества.

Определим концентрацию получившегося растворе. Для этого узнаем какую часть тридцать частей вещества составляют от двухсот частей вещества:

1,10. Значит цена за первый месяц станет 1,10 .

За второй месяц цена также повысилась на 10% . Прибавим к нынешней цене 1,10 десять процентов от этой цены, получим 1,10 + 0,10 × 1,10 . Эта сумма равна выражению 1,21 . Значит цена за второй месяц станет 1,21 .

За третий месяц цена также повысилась на 10% . Прибавим к нынешней цене 1,21 десять процентов от этой цены, получим 1,21 + 0,10 × 1,21. Эта сумма равна выражению 1,331 . Тогда цена за третий месяц станет 1,331 .

Вычислим разницу между новой и старой ценой. Если изначальная цена была равна 1 , то повысилась она на 1,331 − 1 = 0,331 . Выразим этот результат в процентах, получим 0,331 × 100 = 33,1%

Ответ: за 3 месяца цены на продукты питания повысились на 33,1%.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Изучение задач на проценты в 5 - 6 классе

Приступив к теме, изучающей проценты, мы осознаем, что они «преследуют» нас не только в школе, но и в обычной жизни, а именно: дома, магазине, больнице, на заправочных станциях, в банках, в интернете и т. д.

Исходя из истории, слово процент происходит от латинского слова procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Еще в древности у вавиловян появилась идея, вызванная практическими соображениями, выражения частей целого в одних и тех же долях. Множество задач изображенных на клинописных табличках, отображают исчисление процентов. Наиболее распространенное использование проценты получили в Древнем Риме. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Тема проценты – является одной из самых трудных тем для пятиклассников. Это объясняется тем, что понятие процента не является только математическим, а относится к терминам экономики. Например, в учебнике Виленкина Н.Я., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и Жохова В.И. дается следующее определение процента: «Процентом называют одну сотую часть числа».

Проценты встречаются ученикам не только на уроках математики, они так же тесно связаны с такими дисциплинами как: физика, химия, география, биология и т. д.. В связи с этим знание и изучение темы «Проценты» является неотъемлемой частью математики, именно в 5 классе.

Рассмотрим подборку типовых задач на проценты.

Тип 1: Находим процент от числа.

Задача. За месяц на металлургическом предприятии изготовили 200 автомобильных пружин. 40% изготовленных пружин не смогли пройти контроль качества. Сколько автомобильных пружин не прошло контроль качества?

Решение. Нужно найти 40% от общего количества изготовленных пружин, 200 * 40% =200 * 0,4 =80.

Ответ: 80 пружин из общего количества изготовленных контроль не прошли.

Тип 2: Находим число по его проценту.

Задача. Готовясь к уроку, школьник решил 13 задач из учебника. Что составляет 13% числа всех задач в учебнике. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Решение. Мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но зато нам известно, что 13 задач составляют 13% от общего их количества. Запишем 13% в виде дроби: 0,13. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого:

13 / 0,13 = 13 * 100 / 13 = 100 задач составляет 13% от всех задач учебника.

Х задач – 100%

100 задач – 13%, следовательно:

Х * 13% = 100 * 100%

Х = (100 * 100%) / 13%

Х = 769 задач всего, собрано в учебнике

Ответ: Именно 769 задач собрано в учебнике.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

Задача. В классе 40 учеников. 16 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Решение: 16 / 40*100% = 40%

Ответ: 40 % в классе составляют девочки.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

Задача. На экзамене по математике 120 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 17%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?

Решение. Если некое число, а увеличено на Х %, то оно увеличилось в

(1 + Х /100) раз. Откуда а * (1 + Х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ:

120 * (1 + 17/100) = 140

Ответ: 140 человек в этом году получили пятерки

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

Решение: Если число а уменьшено на Х % и при этом 0 ≤ Х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – Х / 100) раз. И нужное нам число находим по формуле

а * (1 – х/100).

Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ:

100 * (1 – 25 / 100) = 75.

Ответ: 75 выпускников в этом году

Тип 6: Задачи на простые проценты.

Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?

Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как Х % и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * Х / 100).

Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Ответ: 14000 рублей родители заплатят банку через год

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

Задача. Сумма кредита составляет 25000 рублей, взятых под 15% сроком на 3 месяца. Узнайте, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.

Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пусть S – наращиваемая сумма, а – исходная, Х % - процентная ставка, у – количество периодов начисления процента.

В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + Х / 100) у.

Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100) * 3 = 38021,875 – искомая сумма.

В заключении можно сказать, что тема изучения задач на проценты не так сложна, как кажется. Что бы быстрее понять и освоить эту тему, нужно приложить не много усилия, трудолюбия, а так же внимательно послушать учителя. Удачи!